Extensiones de campo finito de $\mathbb C(t)$ son campos cotizados de $\mathbb C[X,Y]$ ¿módulo de un polinomio irreducible?

Question

Dado un campo de la forma $\mathbb C(t)[g]$ , donde $t$ es trascendental sobre $\mathbb C$ y $g$ es algebraico sobre $\mathbb C(t)$ ¿siempre encuentro un polinomio irreducible $F\in \mathbb C[X,Y]$ tal que $Quot(\mathbb C[X,Y]/(F))\cong \mathbb C(t)[g]$ ?

Pensé en tomar el polinomio mínimo de $g$ en $\mathbb C(t)$ y matando a los denominadores, pero no pude lograr escribir una prueba seria.

Answer 1

Su problema se reduce a lo siguiente:

Dejemos que $R$ sea un UFD, $K$ su campo de fracciones, $p\in K[T]$ un polinomio mónico irreducible y $a\in R$ tal que $ap\in R[T]$ es primitivo (siempre hay un $a\in R$ con esta propiedad) y por tanto irreducible. Entonces el campo de fracciones de $R[T]/(ap)$ es isomorfo al campo $K[T]/(p)$ .

Para demostrar esto hay que tener en cuenta que existe un homomorfismo inyectivo $R[T]/(ap)\to K[T]/(p)$ . Entonces es fácil demostrar que esto también es surjetivo.

Observación. Para otra prueba del isomorfismo deseado se pueden utilizar las propiedades habituales de la localización (con respecto al sistema multiplicativo $S=R-\{0\}$ ).