Ecuaciones paramétricas del cicloide en una rampa

Question

Una pequeña rueda de radio r está situada en la parte superior de una rampa que tiene un ángulo = /3 rad como aparece en la siguiente figura. En t = 0 la rueda está en reposo y luego comienza a a girar en el sentido de las agujas del reloj en la dirección x positiva con velocidad angular constante .

Encuentra las ecuaciones paramétricas de las coordenadas x e y del punto p en función del tiempo, para t>0. Usando el teorema de Pitágoras o de otra manera verifica tus fórmulas en los puntos $x_p$ (T) y $y_p$ (T), donde T = 2/. el círculo se encuentra en el origen (0,0) y se puede imaginar como si el círculo se moviera en el Ramo

Quiero encontrar las ecuaciones paramétricas del punto P.

Sé cómo encontrar la paramétrica de cicloide en el eje x cuando su tocar el eje x, pero realmente atascado con este tengo 2 problemas con este su en una rampa y el punto P no está en la rampa completamente perdido Por favor, ayúdenme en lo que puedan, cualquier sugerencia será apreciada y una respuesta completa sería impresionante.

Si usted está votando para cerrar la pregunta por favor deje un comentario por qué con una razón que no veo por qué esta pregunta es fuera de tema

Gracias

Answer 1

La ecuación paramétrica de un cicloide generado al rodar una rueda de radio $a$ a un ritmo constante por un ángulo $\theta$ es

$$x = a (\theta-\sin{\theta}) \quad y=a (1-\cos{\theta})$$

Girar el $(x,y)$ a un nuevo sistema de coordenadas $(x',y')$ por un ángulo $\phi$ se lleva a cabo mediante la tranformación

$$x'=x \cos{\phi}+y \sin{\phi} \quad y'=-x \sin{\phi}+y \cos{\phi}$$

por lo que la ecuación de la cicloide aquí es, después de algunas simplificaciones:

$$x'=a (\sin{\phi}+\theta \cos{\phi}) - a \sin{(\theta+\phi)} \quad y' = a(\cos{\phi}-\theta \sin{\phi}) - a \cos{(\theta+\phi)}$$

Tenga en cuenta que esto supone que el punto $P$ comienza en la rampa. Tenga en cuenta también que $\phi = \pi/2-\alpha$ el ángulo de inclinación.

Aquí hay un gráfico para una tasa constante en el ángulo de inclinación especificado, $\alpha=\pi/3$ .

Answer 2

Suponga que puede escribir la ecuación cicloide $x=x(t),y=y(t)$ en la línea horizontal con el origen como punto de partida. A continuación, el primer paso es girar la línea $\theta=\frac\pi3$ en el sentido de las agujas del reloj utilizando $$x'(t)=x(t)\cos\theta+y(t)\sin\theta\\ y'(t)=-x(t)\sin\theta+y(t)\cos\theta$$ El siguiente paso, el punto $P$ en otra vista, parece que se ha girado $\pi-\theta$ antes de que se vaya $(0,2r)$ . Así que la ecuación paramétrica es $$x''(t)=x'(t+(\pi-\theta))\\y''(t)=y'(t+(\pi-\theta))$$