¿Cómo probar que para todos los$k\in\mathbb N$,$h(kx)=kh(x)$ y$h(x+y)\le h(x)+h(y)$?

Question

Supongamos que$X$ es un monoide conmutativo y$f:X\to\mathbb R\cup\{\infty\}$ una función y

$$g(x)=\inf\left\{\sum_{i=1}^nf(x_i)~\middle\vert~\sum_{i=1}^nx_i=x,n\in\mathbb N\right\}$ $$$h(x)=\inf\left\{\frac{g(mx)}m ~\middle\vert~ m\in\mathbb N\right\}$ $ entonces, ¿cómo probar que para todos los$k\in\mathbb N$,$h(kx)=kh(x)$ y$h(x+y)\le h(x)+h(y)$?

Probé que$g(x+y)\le g(x)+g(y)$, así que puedo escribir$$h(kx)=\inf\left\{\frac{g(mkx)}m ~\middle\vert~ m\in\mathbb N\right\}=k\inf\left\{\frac{g(mkx)}{mk} ~\middle\vert~ m\in\mathbb N\right\}$ $ desde$g(x+y)\le g(x)+g(y)$, tenemos$\frac{g(mkx)}{mk}\le\frac{kg(mx)}{mk}$ Entonces,$$h(kx)\le k\frac{g(mx)}m$ $ por lo tanto$$h(kx)\le kh(x)$ $ en la otra parte$$kh(x)=\inf\left\{\frac{kg(mx)}m ~\middle\vert~ m\in\mathbb N\right\}$ $ y desde$\frac{kg(mx)}m\le\frac{km}mg(x)$ tenemos$$kh(x)\le kg(x)$ $

¿Alguna pista para continuar?

Answer 1

Dejar $k \in \mathbf N$. Tenga en cuenta que \begin{align*} h(kx) &= k\inf \left\{ \frac{g(mkx)}{mk} : m \in \mathbf N\right\} \\&= k\inf\left\{\frac{g(m'x)}{m'} : m' \in k\mathbf N\right\} \\&\le k\inf \left\{ \frac{g(m'x)}{m'} : m' \in \mathbf N\right\} \\&= kh(x). \end {align *} Para la otra dirección, dado$\epsilon > 0$, hay$m \in \mathbf N$ de tal manera que$g(mkx) -m\epsilon \le mh(kx)$. Como, por definición de$h$,$h(x) \le g(mkx)/mk$, tenemos \begin{align*} kh(x) &\le k\frac{g(kmx)}{km}\\ &\le \frac{mh(kx) + m\epsilon}{m}\\ &= h(kx) + \epsilon \end {align *} Como$\epsilon>0$ era arbitrario,$kh(x) \le h(kx)$.

Para la desigualdad del triángulo, dada$\epsilon > 0$, elija$m_x, m_y \in \mathbf N$, tal que$\frac{g(m_xx)}{m_x} \le h(x) + \epsilon$, y$\frac{g(m_yy)}{m_y} \le h(y) + \epsilon$. Deje$m = m_xm_y$, luego por lo que ha mostrado para$g$ \begin{align*} \frac{g(mx)}{m} &= \frac{g(m_y m_x x)}{m_x m_y}\\ &\le \frac{m_y g(m_x x)}{m_x m_y}\\ &\le h(x) + \epsilon \end {align*} En la misma línea$\frac{g(my)}m \le h(y) + \epsilon$. Ahora tenemos \begin{align*} h(x+y) &\le \frac{g(mx + my)}{m}\\ &\le \frac{g(mx) + g(my)}{m}\\ &\le h(x) + h(y) + 2\epsilon \end {align *} Y el resultado sigue.