¿Por qué es el colector de la estructura de la tangente paquete único?

Question

...sujeto a la condición de que (i) la proyección de ser suave y que (ii) liso secciones corresponden a lisa campos vectoriales.

Esta tarea problema realmente está molestando el infierno fuera de mí. Por supuesto que se puede verificar localmente, así que vamos a ver en un abrir vecindario $U\in \mathbb{R}^n$ y compruebe que $TU\cong U\times \mathbb{R}^n$ (donde el isomorfismo es como espacios topológicos con gavillas de funciones que se declaran ser suave). Por un lado, es fácil ver que $U \times \mathbb{R}^n$ satisface estas dos condiciones, ya que la proyección es, literalmente, sólo una proyección (en coordenadas) y la correspondencia es

• $X$ un campo de vectores --> $s = (x_1,\ldots, x_n, X(\partial/\partial x_1), \ldots, X(\partial/\partial x_n))$
• $s=(s_1,\ldots, s_n)$ un liso de sección --> $X = \sum_i s_i\cdot\partial/\partial x_i $.

Por otro lado, estoy teniendo un montón de problemas que muestran que la obvia gavilla (que voy a denotar $O_{TU}$) es el único con propiedades (i) y (ii).

Por ejemplo, supongamos $\mathcal{F}$ es otra gavilla de funciones en $U\times \mathbb{R}^n$. Supongamos que $f \in \mathcal{F}(V) \backslash \mathcal{O}_{TU}$ para un conjunto abierto $V\subseteq U$. Hay, en realidad, no parece haber ninguna manera de mostrar que esto viola la propiedad (i), porque lo que realmente significa es que para cualquier $g\in O_U$, $g \circ \pi \in O_{TU}$, y la hipótesis de esta declaración comienza con una función en $U$, no $TU$. Por otro lado, yo no veo ninguna manera de hacer que un campo de vectores en $U$$f$, y (de acuerdo a esta pregunta) se siente muy probable que no necesariamente puede obtener una sección en la que se detecta el fallo de $f$ $O_{TU}$- suave. Ni estoy teniendo mucha suerte derivar una contradicción de $f \in O_{TU}(V) \backslash \mathcal{F}(V)$.

Así que, yo daría la bienvenida a cualquier sugerencia en cuanto a cómo debe proceder.

Answer 1

Esto realmente es más fácil si utiliza gráficos. Supongamos que su suave estructura está dada por un máximo de atlas C. Cerca de cualquier punto de $p$ $TU$ tenemos un vecindario $V=\pi^{-1} W$ $W$ - un gráfico barrio de $\pi(p)$, por lo que en $V$ que hay funciones de $x_i \cdot\pi$ que son suaves por la propiedad (1) y las funciones de $\frac{\partial}{\partial x_i}$, que son suaves por la propiedad (2). Pero también definir un gráfico de un mapa de $V$$R^{2n}$. Por lo que este gráfico tiene que ser suave. Así que tenemos una cubierta con gráficos suaves tanto en el estándar de atlas y el atlas maximal C. por lo tanto los dos liso estructuras coinciden.

Tratando de hacerlo en polea parece un poco extraño. Si la estructura de la gavilla es F, se obtiene $2n$ funciones $F(V)$ y el hecho de que se defina un gráfico debe significar que se puede tirar hacia atrás (restricción) de la función f en F una función en la parte de $R^{2n}$, por lo que la restricción está en el estándar de la estructura de la gavilla, y por lo tanto, (por gavilla axioma) f es demasiado. Esto parece un poco sospechoso, aunque probablemente puede ser fijo, en cuyo caso será la gavilla de la traducción del argumento anterior.

Answer 2

En primer lugar, estoy bastante oxidado en esto, así que esperemos que alguien con más confianza que va a meter la cuchara. Empecé a escribir esto como otro comentario, pero no entra.

De todos modos, sigo pensando que lo que he dicho tiene sentido. Si $\mathcal{E}_{\mathbb{R}^n}$ es el estándar de la estructura diferenciable en $\mathbb{R}^n$, e $\mathcal{C}_M$ es la gavilla de continuo funciones topológicas colector $M$, luego de un subsheaf $\mathcal{F}$ de $\mathcal{C}_M$ es una estructura diferenciable en a $M$ si (y sólo si)

1) en cada punto de $p\in M$ existe una vecindad $V$, y $x_1,...x_n \in \mathcal{F}(V)$ tales que $q \mapsto (x_1, ..., x_n)$ is a homeomorphism onto an open $U \subconjunto \mathbb{R}^n$, y

2) $f \in \mathcal{F}(V)$ fib existe $F \in \mathcal{E}_{\mathbb{R}^n}(U)$, such that $f = F(x_1,...,x_n)$.

Creo que esta definición se deriva de la Warner ("Fundamentos de diferenciable colectores y la Mentira grupos"), pero ha parafraseado por mí y, posiblemente, ha sido distorsionada a través de la lente de una absurdamente largo tiempo. En particular, que la segunda condición, se debe probablemente a ser procesados para ser más obviamente puramente gavilla teórico de la declaración.

En cualquier caso, una adecuada definición de una estructura diferenciable es va a parecerse a algo como esto (lo mismo para la holomorphic la estructura, o la estructura analítica o lo que sea). Y el punto es, que el \emph{definición} requerirá que su gavilla de diferenciables funciones en $M$ serán localmente isomorfo a el \emph{estándar} haz de funciones diferenciables en $\mathbb{R}^n$.

Esto debería aplicarse incluso si la topológico colector $M$ es $\mathbb{R}^n$. Esta es la razón por la que digo que usted no puede solucionar el problema local: Local todas las estructuras diferenciables son isomorfos a la estándar en $\mathbb{R}^n$, por definición.

En cuanto a mi segunda declaración, acerca de una "adecuada" diferenciable estructura en $TM$ definición de una única estructura diferenciable en a $M$, esto es sobre todo una suposición. Sin embargo, el calificativo de "adecuado" es importante aquí. En particular, cualquiera que sea diferenciable de la estructura de $TM$ usted elija, se tiene que restringir a la estructura estándar en $\mathbb{R}^n$ de las fibras. De esta manera, creo que no hay ninguna elección de la izquierda una vez que hemos definido la restricción en la sección cero.