¿Por qué no siempre consideramos espacios de medida completos?

Question

Deje $(\Omega ,\mathcal F,\mathbb P)$ probabilidad de espacio y deje $X=(X_t)$ e $Y=(Y_t)$ dos procesos estocásticos. Sé que, por ejemplo, $X$ e $Y$ son indistinguibles si hay un $N$ de medida $0$ s.t. para todos los $\omega \notin N$ tenemos $X_t=Y_t$ para todos los $t$, pero no podemos escribir $\mathbb P\{\forall t, \ X_t=Y_t\}$ desde $\{\forall t, X_t=Y_t\}$ puede no ser $\mathcal F-$ medibles.

• La cosa es si $Y$ es una copia de $X$ e $(\Omega ,\mathcal F,\mathbb P)$ es completa, a continuación, $\{\forall t,X_t=Y_t\}$ es $\mathcal F-$medibles.

• También sé que cada medir el espacio puede ser completado mediante la adición de conjuntos de medida.

Preguntas :

Así que, ¿por qué no trabajamos siempre con medida completa el espacio (ya que siempre se puede terminar), y evitar, por ejemplo, el problema de la medición de la $\{\forall t, X_t=Y_t\}$ si $Y$ es una copia de $X$ (o muchos otros de la mensurabilidad problema) ?

En lo que es trabajar en un no completa medir el espacio puede ser interesante, o al menos más interesante de trabajar con su finalización ? (ya que no completa medir el espacio siempre puede ser completado).

¿Tiene usted un ejemplo, donde vale la pena trabajar con la pendiente de medir el espacio en lugar de con el completado el espacio ?

Answer 1

La principal ventaja que se me ocurre es que la composición de dos $(\mathcal B,\mathcal B)$medible de funciones también se $(\mathcal B,\mathcal B)$-medibles, mientras que la composición de dos $(\mathcal L,\mathcal B)$medible de las funciones no necesitan ser $(\mathcal L,\mathcal B)$-medible. Por supuesto, aquí se $\mathcal B$ es de la familia de los conjuntos de Borel y $\mathcal L$ es de la familia de Lebesgue medibles conjuntos.

Muchos análisis de libros a decir $(\mathcal L,\mathcal B)$medible cuando dicen medibles. Por eso los libros de estado que necesitamos una función continua $\varphi$ , de modo que $\varphi\circ f$ es medible, siempre que $f$ es una función medible.