Mostrar serie$1 - 1/2^2 + 1/3 - 1/4^2 + 1/5 - 1/6^2$ ... no converge

Question

Me preguntaba si mi prueba es correcta y si hay mejores pruebas alternativas. O tal vez una prueba de que puedes usar buenos trucos que pueda necesitar en el futuro.

PS

Ahora sabemos que$$1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6^2} \ldots = \sum_{n =1}^\infty \left(\frac{1}{2n + 1} - \frac{1}{(2n + 2)^2}\right) + 1 - \frac{1}{2^2}$$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{2n + 1}$$ diverges and $ $ converge. De ahí su suma divergente (he probado este hecho). Por lo tanto, la serie diverge. ¿Algún error obvio o mejor manera de abordarlo? Tal vez usando sumas parciales ya que no tengo ni idea de cómo usarlas.

Answer 1

Llame a$s_k$ las sumas parciales de la serie. Eso es$s_k=\sum_{n=1}^ka_n$, donde$a_n=\frac{1}{n}$ si$n$ es impar, y$a_n=-\frac{1}{n^2}$ si$n$ es par. Como$\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j^2}=\frac{\pi^2}{6}$, tenemos la estimación $$ s_k \ geq- \ frac {\ pi ^ 2} {6} + \ sum_ {n = 1} ^ ka_ {2n-1} = - \ frac {\ pi ^ 2} {6} + \ sum_ {n = 1} ^ k \ frac {1} {2n-1}. $$ En comparación con la serie armónica, la última suma es divergente (cuando$k\to\infty$), por lo que también debe ser$s_k$, lo que demuestra que su serie difiere.

Answer 2

En primer lugar, no parece haber un poco de confusión en las observaciones sobre el "agrupamiento". Vamos a echar un vistazo, esencialmente:

\begin{align} 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6^2} +\cdots &\stackrel{?}{=} \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4^2}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6^2}\right) + \cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2n + 1} - \frac{1}{(2n + 2)^2}\right). \end{align}

Ahora, cuando usted dice que "no está permitido a grupo", supongo que tienes razón en que usted ha generado un poco diferente de la serie , pero las dos series son concretamente relacionados. En particular, si el lado izquierdo converge, entonces el lado derecho también debe converger. Este es un caso especial de que el hecho de que, si una secuencia converge, entonces cualquier subsequence de que la secuencia también converge. Específicamente, si dejamos $s_n$ el valor del $n^{\text{th}}$ suma parcial de la serie de la izquierda y nos vamos

$$S_n = \sum_{n=0}^n \left(\frac{1}{2n + 1} - \frac{1}{(2n + 2)^2}\right)$$

indicar el $n^{\text{th}}$ suma parcial de la serie a la derecha, a continuación,$S_n = s_{2n}$. Por lo tanto, $S_n$ es una larga de $s_n$ y, si $s_n$ converge, a continuación, $S_n$ debe convergen al mismo límite. Tomando el contrapositivo, si $S_n$ diverge, entonces $s_n$ debe también divergen.

Creo que cometes un error, sin embargo, en el siguiente paso por la ruptura de la serie en dos series. Usted está esencialmente reorganización de la serie que sólo es válido cuando la serie es absolutamente convergente.

El enfoque en este punto es simplemente combinar las fracciones para obtener $$\frac{1}{2n + 1} - \frac{1}{(2n + 2)^2} = \frac{4 n^2+6 n+3}{4 (n+1)^2 (2 n+1)},$$ para que el límite de la prueba de comparación es fácilmente aplicable.

Este es exactamente el enfoque que tomé en mi respuesta a esta pregunta.