Sobre una identidad sobre integrales.

Question

Suponga que tiene dos medidas de Borel finita $\mu$ y $\nu$ $(0,\infty)$. Me gustaría mostrar que existe un % de medida de Borel finito $\omega$tal que

$$\int_0^{\infty} f(z) d\omega(z) = \int_0^{\infty}\int_0^{\infty} f(st) d\mu(s)d\nu(t).$$

Podría intentar de utilizar un cambio de fórmula variable, pero los dos dominios de integración no son diffeomorphic. Así que realmente no sé cómo empezar. ¡Cualquier ayuda sería apreciada! Esto no es una tarea, yo actualmente estoy practicando para un examen.

¡Gracias!

Answer 1

Cuando no tenemos idea sobre el problema, la pregunta que debemos hacernos es: "si una medida $\omega$ obras, lo que debe tener para satisfacer?".

Sabemos que para que una medida de Borel que es importante saber de ellos en intervalos de la forma $(0,a]$, $a>0$ (porque podemos deducir su valor en $(a,b]$$a<b$, y en finitos sindicatos de estos intervalos). Así que estamos tentados a definir $$\omega((0,a]):=\int_{(0,+\infty)^2}\chi_{(0,a]}(st)d\mu(s)d\nu(t)=\int_{(0,+\infty)}\mu(0,At^{-1}])d\nu(t).$$

Tenga en cuenta que si la colección de $\{(a_i,b_i]\}_{i=1}^N\}$ se compone de pares distintos elementos, lo son para cada una de las $t$$(a_it^{-1},b_it^{-1}]$, lo que nos permite definir $\omega$ sobre el anillo, que consiste en la finitud de los distintos sindicatos de los elementos de la forma $(a,b]$, $0<a<b<+\infty$. A continuación, extendemos a los conjuntos de Borel por Caratheodory extensión del teorema.

Como las medidas son finitos, $\omega$ se determina únicamente.

Answer 2

Esta operación sobre medidas se llama circunvolución de medidas en el Grupo abeliano localmente compacto $(0,+\infty)$ bajo multiplicación.

Uso de exp y log podemos convertir esto a la circunvolución usual en el ACV grupo $(-\infty,+\infty)$ bajo adición. En ese caso, el % de circunvolución $\omega = \mu \ast \nu$satisface $$ \int{-\infty}^{+\infty} f (z) \; \omega(DZ) = \int{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x+y) \;\mu(dx)\;\nu(dy) $$