Por ejemplo, en $\mathbb{F}_5$ , $2^2=3^2=-1$ . Sin embargo, en $\mathbb{F}_3$ no hay solución para $x^2=-1$ .
¿Cuándo existe la(s) raíz(es) cuadrada(s), y si existe(n), podemos decir algo sobre su multiplicidad (o incluso cuándo se producen)?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Dado que el grupo unitario de un campo finito $\mathbb{F}$ es siempre cíclico de orden $|\mathbb{F}|-1=:n$ y $-1$ es el único elemento de orden $2$ sur $\mathbb{F}^ \times$ (si $1 \neq -1$ sur $\mathbb{F}$ ) hay un elemento $x$ con $x^2=-1$ si y sólo si $4 \mid n$ por lo que si y sólo si $|\mathbb{F}| \equiv 1\pmod 4$ .
Edición: Sólo para aclarar: Si $\mathrm{char}(\mathbb{F})=2$ tenemos $1=-1$ así que $-1$ es obviamente un cuadrado. Por lo tanto, el argumento anterior sólo se refiere a la característica impar.
gammatester
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Para el Símbolo de Jacobi tienes $(-1|p) = 1\:$ si $p \equiv 1 \pmod 4.\;$ Esto responde a su pregunta sobre los campos principales $\mathbb{F}_p.\;$ Y obviamente si $x^2=-1\;$ entonces $(-x)^2 = -1.$ Tenga en cuenta que $\mathbb{F}_2\;$ es un caso especial porque aquí tienes $1=-1$ .
