La teoría de la medida destaca al cardenal contable. ¿Por qué?

Question

En algunos análisis elemental de los cursos, hablamos de lo que iba a fracasar sin contable aditividad, aunque no es como si hubiera alguna contradicción. Se trataría sólo de "no agradable". Nos gustaría perder la continuidad bajo secuencial monotono límites. Dunford y Schwartz decir algunas cosas sobre finitely aditivo conjunto de funciones. ¿Qué sucede cuando en lugar de nociones como "$\sigma$ álgebra" y contables de aditividad, sustituir cada ocurrencia de countability con algunas de las grandes cardenal? Así que los reales puede no ser el lugar adecuado para llevar a cabo esa teoría, porque si usted tiene una arbitraria de tamaño distinto de la unión de "medibles" establece en la propuesta de la teoría, entonces, a menos que todos, pero contables muchos han "medida 0" tendríamos que la medida tendría que ser infinito o indefinido en el firmado caso todo el tiempo. Pero ¿qué pasa si más general de los valores de las medidas que se toman, como dicen en un espacio de Banach?

En la medida en que la siguiente pregunta se puede contestar más allá de "sólo porque no funcionó de esa manera", ¿por qué es que nuestras modernas teorías matemáticas, básicamente, sólo se preocupan por escalar las medidas que se countably aditivo, o tal vez en situaciones extrañas espacio de banach con valores de medidas, pero todavía countably aditivo? ¿Por qué no finito, o por qué no más?

Answer 1

Realmente tenía la exacta discusión con dos amigos cuando yo era un estudiante y tomamos la teoría de la medida del curso. Por suerte para mí, cuando fuimos a pedir al profesor que enseña, él era un poco familiarizado con el modelo de la teoría (su esposa es una conocida modelo teórico) y señaló que en verdad necesitas algunos ordenó abelian la estructura del grupo para mantener la medida. Si usted toma algunos muy muy gran grupo, se puede tener "medidas" en ese grupo en lugar de los números reales.

Todo lo que está bien y dandy, pero ¿por qué no lo hacemos más a menudo? La manera en que yo lo veo, hay dos razones principales.

1. Teoría de la medida proviene de los problemas que se relacionan con las del mundo real. En el mundo real solo hacemos las cosas de un número finito de tiempo. Sin embargo, ya que no queremos limitarnos a un número finito obligado, permitiendo contables de la suma nos permite ir "tan lejos como queramos, y algo más" en su lugar.

2. Contables cardinalidades son en algún sentido absoluto. Si usted tiene dos modelos de la teoría de conjuntos con el mismo ordinales, siempre estarán de acuerdo en el valor de $\aleph_0$, pero pueden estar en desacuerdo sobre el valor de $\aleph_1$. Por otra parte, incluso si no están de acuerdo en qué es $\aleph_1$ ellos pueden estar en desacuerdo sobre si o no $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ o de otro tipo, los puntos más finos.

   Así que una vez que deje el contable (o incluso separables) reino inevitablemente, vamos a establecer la teoría de entrar a su casa por la puerta de atrás. No a mucha gente le gusta eso. Por ejemplo Whitehead, el problema es comprobable en el caso contables, pero es independiente de la $\sf ZFC$ en los innumerables caso; o el hecho de que Calkin álgebras puede tener externa de automorfismos, o no, depende de la hipótesis continua.

Así que, cuando se combina "contables aditividad es lo suficientemente bueno como para lo que necesitábamos teoría de la medida en el primer lugar" y "preferimos evitar elaborado conjunto de supuestos teóricos", se obtiene la razón de por qué la gente está interesada principalmente en la contable/separables caso.

En el tiempo, sin embargo, es lógico que la gente va a encontrar más y más interés en lo que sucede más allá del reino de los contables, y cuando eso ocurre, la gente va a tener que conformar con algún "canónica de la teoría de conjuntos", que decide un montón de declaraciones (por ejemplo, $V=L$ o así), o trabajar con distintas conjunto de supuestos teóricos. Y, francamente, a mí, como un conjunto teórico, ni suena demasiado atractivo.