Encuentra todos los k de modo que$\sigma (k)=165$ donde$\sigma$ sea la suma de los divisores

Question

$165=(3) (5) (11)$

$\sigma (p^a)$ =$p^{a+1}-1 \over {p-1}$ =$3$

$p^{a+1}-1$ =$3p-3$

$p^{a+1}=3p-2$

Quedé atrapado aquí. ¿Cómo procedo?

Answer 1

Hay un producto-de-primer-serie fórmula para $\sigma(n)$. Si el primer factorización de $n$$\prod_{i=1}^rp_i^{a_i}$: $$\sigma(n)=\prod_{i=1}^r\sum_{j=0}^{a_i}p_i^j$$ Hacemos una tabla de $\sum_{k=0}^ap^k$ para los pequeños primos $p$ y exponentes $a$. Para cada uno de los prime, dejamos el listado de las sumas de los exponentes si se superaría 165:

  p | 0   1   2   3   4   5   6
  2 | 1  (3)  7 (15) 31  63 127
  3 | 1   4  13  40 121
  5 | 1   6  31 156
  7 | 1   8  57
 11 | 1  12 133
 13 | 1  14
... | ...
163 | 1 164

Buscamos los números 3, 5, 11, 15, 33, 55 y 165 – los divisores de 165 excepto 1 – en la tabla. Si podemos encontrar cualquier subconjunto de los números que se encuentra en distintas filas y cuyo producto es de 165, podemos utilizar la propiedad multiplicativa de la función de divisor para la construcción de una $k$$\sigma(k)=165$.

Excepto que no podemos encontrar en cualquier subconjunto: sólo 3 y 15 aparecen en la tabla (están marcados con los corchetes). Por lo tanto llegamos a la conclusión de que no es $k$ $\sigma(k)=165$ . De hecho, A007369, los números de $n$ tal que $\sigma(x)=n$ no tiene solución, contiene 165.

Answer 2

Pues parece que usted está buscando para el "duro" de la forma:

Deje $n$ ser un entero positivo tal que $\sigma(n)=165.$ $\prod_{p\mid n}(p^{\alpha_p+1}-1)/(p-1)=3\cdot5\cdot11,$ donde el producto se toma sobre todos los números primos dividiendo $n$ e donde: $\alpha_p$ es el exponente de $p$ en el primer descomposición de $n.$ Ahora tenga en cuenta que si $p\mid n$ $\alpha_p+1\geqslant2$ $(p^{\alpha_p+1}-1)/(p-1)>1.$ por lo tanto, desde el lado derecho de la igualdad anterior tiene exactamente tres factores primos, $n$ tiene más de tres factores primos. Si $n=p^a$ para algunos prime $p$ y algunos entero $a>0$ $\sigma(n)=(p^{a+1}-1)/(p-1)$ $164=2^2\cdot41=p(165-p^a)$ $p\in\{2,41\}.$ es fácil comprobar que ninguna de estas obras. Por lo tanto $n$ tiene dos o tres primeros factores. Si $n=p^aq^b,$ $p$ $q$ primos, $p\neq q$ $a,b>0$ entonces tenemos tres posibilidades. Si establecemos $\alpha:=(p^{a+1}-1)/(p-1)$ $\beta:=(q^{b+1}-1)/(q-1),$ las tres posibilidades son:

$(i)$ $\alpha=15$ y $\beta=11.$ $14=2\cdot7=p(15-p^a)$ $p\in\{2,7\}.$ En la misma forma nos encontramos con que $q\in\{2,5\}.$ Si $p=2$$a=3$, y también desde $p\neq q$ $10=2\cdot5=q(11-q^b)$ $q=5$ $5^b=9,$ lo cual es imposible. Si $p=7$ $7^a=13,$ lo cual es imposible.

$(ii)$ $\alpha=33$ y $\beta=5.$$32=2^5=p(33-p^a)$$p=2.$$4=2^2=q(5-q^b)$$q=2,$, lo que contradice el hecho de que $p\neq q.$

$(iii)$ $\alpha=3$ y $\beta=55.$ $2=p(3-p^a)$ $p=2$ $a=1.$ $54=2\cdot3^3=q(55-q^b)$ y desde $q\neq p$ $q=3$ e lo $3^b=37,$ lo cual es imposible.

Queda por ver qué pasa cuando se $n=p^aq^br^c,$ donde $p,q,r$ son pares distintos de los números primos y $a,b,c$ son enteros positivos. Ahora tenga en cuenta que sólo hay una posibilidad, que es $(p^{a+1}-1)/(p-1)=3,$ $(q^{b+1}-1)/(q-1)=5$ y $(r^{c+1}-1)/(r-1)=11.$$p=q=2,$, lo que contradice el hecho de que $p\neq q. $ por Lo tanto no es $n$ $\sigma(n)=165.$

Answer 3

La forma más fácil: consulte una tabla de$\sigma(k)$ para$k \le 164$, por ejemplo, la que está en la secuencia A000203 de OEIS y seleccione el valor$165$.

Answer 4

Procedimiento paso a paso para buscar posibles $n$ tal que $\sigma(n) = 165$:

Para el primer $p$, $\sigma(p)=p+1$. Desde $164$ no es primo, esta no es una posibilidad para $\sigma(n) = 165$.

Siguiente para el primer poder $p^k$, $\sigma(p^k)=p^k + p^{k-1} + \cdots + p+1$. Para $p=2$ también sabemos que $\sigma(2^k)=2^{k+1}-1$ . Desde $166$ no es una potencia de $2$, $n=2^k$ no es factible. Para otros primos, también podemos observar que para los impares $p$, esta suma es impar iff $k$ es incluso. Así podemos evaluar rápidamente $\sigma(p^k)$ para la pequeña a pesar de potencias de números primos $3,5,7,11$ y vamos a saber que el mayor de los números primos no son factibles (desde $13^2>165$):

\begin{array}{c|c} p & k & \sigma(p^k)\\\hline 3 & 2 & 13\\ 3 & 4 & 121\\ 5 & 2 & 31\\ 7 & 2 & 57\\ 11 & 2 & 133\\ \end{array}

Ninguno de estos números se $165$, mostrando que el $n = p^k$ no es una solución factible.

Además, ninguno de ellos dividen $165$ (aunque$\sigma(2)$$\sigma(8)$). Desde $\sigma$ es multiplicativa entre el primer poderes (es decir, $\sigma(p^kq^m) = \sigma(p^k)\sigma(q^m)$), esto significa que no hay soluciones a $\sigma(n) = 165$, ya que requieren más de un divisor primo.