¿Cuál es el significado de $SL(2, \mathbb{R} / SL(2, \mathbb{Z}))$ en el estudio de los entramados en la geometría de los números?

Question

Estaba escuchando una charla sobre celosías y la geometría de los números y en un momento dado pasaron de hablar de una celosía 2d a hablar de $SL(2, \mathbb{R})\ /\ SL(2, \mathbb{Z}))$ y no estaba claro por qué lo harían?

He pensado en ello y puedo ver cómo podemos identificar retículos unimodulares con elementos de $SL(2, \mathbb{Z})$ . ¿Por qué querríamos entonces cotejar por ese espacio?

Answer 1

Una base $B$ de una red puede identificarse con una matriz $[B]$ cuyas columnas son los vectores de $B$ . Dos bases $B_1$ y $B_2$ abarcan la misma red si y sólo si son equivalentes hasta la multiplicación por una matriz unimodular (es decir, si existe $U \in \mathbb{Z}^{n \times n}$ tal que $[B_2] = U[B_1]$ ). Por lo tanto, tenemos que mod por $SL(2, \mathbb{Z})$ si queremos clases de equivalencia de matrices que generen las mismas redes.