¿Es posible simular una función de piso() con aritmética elemental?

Question

Estoy usando un "lenguaje de programación" que sólo permite operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división.

¿Es posible emular una función de piso (es decir, dejar caer los decimales un número) utilizando sólo esos operadores? Sólo estoy interesado en los números positivos

Edición: Aquí está el documentación describiendo lo que es posible (que es sólo aritmética elemental)

Answer 1

Dejemos que $$f_1(x)=x+c_1$$ $$f_2(x)=x\cdot c_2$$ donde $c_1,c_2$ son algunas constantes, y $f_1$ representa la suma y la resta, y $f_2$ representa la multiplicación y la división. Funciones $f_1$ y $f_2$ tienen función inversa, pero $\lfloor{x}\rfloor$ no tiene una función inversa. Por lo tanto, si suponemos que es posible encontrar $\lfloor{x}\rfloor$ de $x$ utilizando $f_1$ y $f_2$ entonces es posible encontrar $x$ de $\lfloor{x}\rfloor$ . Contradicción.

Answer 2

La función suelo tiene discontinuidades de salto.

Una función obtenida con la aritmética elemental es una función racional y ésta sólo puede tener discontinuidades polares (o infinitas).

Answer 3

Sí es posible, pero depende de la aritmética disponible y del modo de redondeo. Con IEEE-double se puede redondear un doble $x$ al número entero más cercano con esto:

$c=2^{52};$

$x = x + c; \mathrm{round} = x - c$ para $x\ge 0\;$ y

$x = x - c; \mathrm{round} = x + c$ para $x<0.$

Con el redondeo al siguiente entero se puede implementar el suelo.

Answer 4

Si puedes utilizar un bucle y variables adicionales, puedes restar una y otra vez hasta quedarte sólo con la parte decimal.

Algo así como:

floor(x):
floor = 0
While x >= 1
    floor += 1
    x -= 1
End While

No es lo mejor, y llevará mucho tiempo para grandes números, pero se podría ajustar.

Tampoco funciona para valores negativos, pero eso se arregla fácilmente.

Answer 5

Puedes hacer entero división usando aritmética compleja, pero hay una función diferente para cada divisor. Por ejemplo,

$$\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor = \frac{x}{2} - \frac{1 - (-1)^x}{4} $$

para $x$ un número entero. Para un número mayor $k$ usarás $k$ a raíz de la unidad.