¿Por qué el núcleo de Fejér es siempre no negativo?

Question

En una de las pruebas de mis notas, el núcleo de Fejér ( $K_{n}$ abajo) es arrancado de un valor absoluto aparentemente gratis. En la página anterior se comenta que esta función es siempre no negativa. No veo por qué esto sería automático. ¿Por qué es esto cierto?

Tenemos $K_{n} = \sum\limits_{j=-n}^{n} D_{j}(t)$ , donde $D_{n} = \sum\limits_{j=-n}^{n}e^{ijt}$ .

No es automático que $e^{ijt}$ es no negativo (o incluso real) para cada valor de $t\in [-\pi,\pi)$ , $j\in\mathbb{Z}$ .

Esto es lo que me confunde.

Answer 1

En primer lugar, observe que $$ D_n(t) = \sum_{k=-n}^n \exp(i k t) = \exp(-i t n) \sum_{k=0}^{2n} \exp(i k t) = \mathrm{e}^{-i t n} \frac{1-\exp(i t (2n+1))}{1-\exp(i t)} = \frac{\sin ( n t + \frac{t}{2})}{\sin(\frac{t}{2})} $$ Entonces, por definición $K_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} D_k(t)$ que tenemos: $$ \begin{eqnarray} K_n &=& \frac{1}{n \sin(t/2)} \sum_{k=0}^{n-1} \sin\left( k t+\frac{t}{2}\right) \\ &=& \frac{1}{n \sin(t/2)^2} \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1} \left( \cos(k t) - \cos((k+1)t)\right) \\ &=& \frac{1}{2 n \sin(t/2)^2} \left( 1 - \cos( n t) \right) = \frac{1}{n} \left( \frac{\sin(n t/2)}{\sin(t/2)} \right)^2 \ge 0 \end{eqnarray} $$

Answer 2

Utilizando la fórmula de la suma parcial de una serie geométrica, el núcleo de Dirichlet es $$ D_n(t)=\frac{e^{i(2n+1)t/2}-e^{-i(2n+1)t/2}}{e^{it/2}-e^{-it/2}}\tag{1}=\frac{\sin((2n+1)t/2)}{\sin(t/2)} $$ Sumaremos la forma media, de nuevo utilizando la fórmula de la suma parcial de una serie geométrica, para obtener $$\begin{align} F_N(t) &=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}D_n(t)\\ &=\frac{1}{N}\frac{e^{iNt}-2+e^{-iNt}}{(e^{it/2}-e^{-it/2})^2}\\ &=\frac{1}{2N}\frac{1-\cos(Nt)}{\sin^2(t/2)}\\ &=\frac{1}{N}\frac{\sin^2(Nt/2)}{\sin^2(t/2)}\tag{2} \end{align} $$

Answer 3

Puede demostrar que

$$\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1} D_j(t)=\begin{cases} \frac{1-\cos{nt}}{(1-\cos{t})n} &\mbox{if } t\not=2k\pi \\ n & \mbox{if } t=2k\pi \end{cases}\ge0$$ por inducción en $n$ si $t=2k\pi$ y multiplicando $D_j(t)$ por $e^{it}-1$ en caso contrario (aparecerá una serie telescópica).