¿Por qué y cómo usar las expansiones de Taylor para las ecuaciones polinomiales?

Question

Es probable que este increíblemente ingenua y básica, pero la ignorancia es peor... así que aquí va...

Entiendo que la serie de Taylor son grandes para aproximar una función difícil (trigonométricas, por ejemplo) con un polinomio construido a través de los derivados de la función original en cerca de un punto sabemos bien en la función original. Los derivados se convierten en los coeficientes de la recientemente creada polinomio (modificado por el factoriales en los denominadores).

Pero no veo cuál es el punto o cómo utilizar expansiones de Taylor cuando ya tenemos un polinomio, y estamos hablando de las raíces o ceros.

El contexto de esta pregunta es este otro post. Estoy tratando de construir mi conocimiento de fondo para entender la respuesta en el post anterior.

Answer 1

Serie de Taylor se puede aplicar a la función polinomial como una forma de transición hacia un punto donde el mayor grado términos converge a 0 más rápido que un menor grado de los términos, de modo que la aproximación puede obtener con menos términos.

En plena forma expandida como $f(x)=\sum_i c_i x^i$, si el centro del punto de $x_0$ del polinomio no es $0$, superior en términos del grado en realidad puede aumentar más rápido que el de menor grado términos cerca de $x_0$, que no es lo que queremos. Así que queremos cambiar el centro hacia la $x_0$, de modo que la función se convierte en $f(x)=\sum_i c'_i (x-x_0)^i$, en cuyo caso el mayor grado términos tienden a $0$ más rápido como $x$ enfoques $x_0$, por lo que podemos deshacernos de el mayor grado términos sin demasiado error.

Ejemplo: queremos aproximado de cerca de $x_0=3$, y tenemos $f(x)=x^2-5x+10$. Si ponemos $x=3$, $x^2$ todavía es necesaria para un buen resultado, ya que añade algún valor en el resultado. Si aplicamos la serie de Taylor en $x_0=3$, obtenemos $f(x)=(x-3)^2+(x-3)+4$. Si ponemos $x$ cerca de $3$, podemos ver $(x-3)^2$ converge a 0 más rápido que en otros términos, por lo que podemos aproximar la función como $f(x)\approx (x-3)+4$ $f(x)\approx 4$

Answer 2

Para las funciones polinomiales, la expansión de Taylor en$x=0$ solo coincide con el polinomio dado.

Para otros puntos, podemos usarlo para obtener una aproximación local por polinomio de grado menor que el original, pero este tipo de aplicación no es tan útil.