Sistema dinámico $f(x) = 2x$ mod $1$

Question

Estoy leyendo el siguiente documento:

ergodic theory of chaos and strange attractors, by J.-P. Eckmann (se puede descargar fácilmente)

Mi pregunta se refiere a un ejemplo de la página 620 (abajo a la izquierda):

Consideremos un sistema dinámico $$f(x) = 2x \ \ \ \text{mod } 1$$ para $x\in [0,1)$ .

1. El documento dice que este sistema dinámico está "desplazado a la izquierda con truncamiento de los dígitos iniciales" en notación binaria. ¿Qué es esto?

2. "Las mediciones repetidas en el tiempo darán finalmente todos los dígitos binarios del punto inicial", ¿qué significa esto?

Answer 1

Creo que significa:

1. La representación binaria del número $f\left(x\right)$ es la misma que la representación binaria de $x$ desplazado un lugar a la izquierda y con el dígito inicial cortado. Por ejemplo, en notación binaria, tenemos $\frac{3}{4} = 0.11$ y $f\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{1}{2} = 0.1$ .
2. Leyendo el ejemplo como en el papel, no mencionaste que "medición" aquí realmente significa medición de si un número es mayor o menor que $\frac{1}{2}$ . Al aplicar repetidamente $f\left(x\right)$ y midiendo el resultado cada vez, podemos determinar para cada dígito binario de $x$ si es $0$ o $1$ por lo que podemos determinar todos los dígitos binarios de $x$ de esta manera.

Answer 2

Dejemos que $x=0,b_1\ldots b_n$ con $b_i\in\{0,1\}$ sea la representación de $x$ en la base $2$ . Entonces $2x=b_1,b_2\ldots b_n$ por lo que $f(x)=0,b_2\ldots b_n$ , eso es $f(x)$ se obtiene de $x$ por eliminar el dígito binario de la izquierda como se afirma en 1. En consecuencia, la órbita de $x$ es: $$\begin{array} x & 0,b_1\ldots b_n\\ f(x) & 0,b_2\ldots b_n\\ f^{\circ 2}(x) & 0,b_3\ldots b_n\\ \end{array}$$ En consecuencia, el primer dígito de la secuencia $x, f(x), f^{\circ 2}(x), \ldots$ da la secuencia de dígitos binarios de $x$ (declaración 2).