¿Cuál es la probabilidad de que el centro del círculo esté contenido dentro de un triángulo formado al elegir tres puntos al azar en la circunferencia?

Question

Considera el triángulo formado al distribuir de forma aleatoria tres puntos en un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que el centro del círculo esté contenido dentro del triángulo?

Answer 1

La probabilidad es, de hecho, $\large\frac14$.

Donde sea que se elija el primer punto, el diámetro en el que se encuentra (el diámetro determinado por el centro del círculo y el primer punto elegido) divide el círculo en dos semicírculos simétricos, por lo que el segundo y tercer puntos (asumiendo que son distintos) deben estar necesariamente situados en mitades opuestas del círculo.

La línea que conecta el segundo y tercer puntos debe estar también por encima del centro (con respecto al primer punto, o por debajo del centro, si el primer punto estaba en "la parte de arriba"); por lo tanto, si el segundo punto está a una distancia $x$ desde el primer punto a lo largo del perímetro del círculo (en unidades de la longitud del perímetro), hay un rango dentro de la longitud $\frac12-x$ en el cual colocar el tercer punto. Por lo tanto, al computar la probabilidad se tiene:

$$2\int_0^{\large\frac12}\left(\frac12-x\right)\,dx\;=\;2\int_0^{\large\frac12}x\,dx\;=\;\frac14$$

donde multiplicamos la integral por $2$ para cubrir el hecho de que podemos intercambiar el segundo y tercer punto.

Answer 2

La probabilidad es $\frac14$. El argumento dado en esta respuesta a la pregunta correspondiente para los $n$-gonos se aplica igualmente bien a los círculos. Esta respuesta a la generalización de esta pregunta a dimensiones arbitrarias también podría ser de interés: la probabilidad de que la envoltura convexa de $n+2$ puntos en $S^n$ (la esfera unitaria en $\mathbb{R}^{n+1}$) contenga el origen es $2^{−n−1}$.

Answer 3

Sea $A$ el primer punto elegido, $M$ el centro del círculo, y $AA'$ el diámetro que pasa por $A$. La probabilidad de que los otros dos puntos $B$ y $C$ estén a cada lado de $AA'$ es ${1\over2}$. Dado que este es el caso, los ángulos centrales $X:=\angle(AMB)$ e $Y:=\angle(AMC)$ están distribuidos de forma independiente y uniforme en $[0,\pi]$. La probabilidad de que $X+Y\geq\pi$ corresponde al área de la mitad de un cuadrado cortado por una diagonal, por lo que nuevamente es ${1\over2}$. Por lo tanto, la probabilidad que estamos buscando equivale a ${1\over2}\cdot{1\over2}={1\over4}.

Answer 4

Supongamos que se eligen dos puntos al azar. El primero se llama A, el segundo se llama B. Al unir los puntos con el centro, obtenemos dos líneas y cuatro cuartos (el área no es la misma). Solo en un cuarto el triángulo formado contendrá el centro.

Aplicando la simetría, los puntos A, B son totalmente aleatorios, por lo tanto, el área del cuarto es totalmente aleatoria. Los eventos en los que el tercer punto cae en cualquier cuarto son simétricos.

Por lo tanto, la probabilidad es de 1/4. Esta es una explicación muy intuitiva.

Answer 5

Arregle un punto $A$. Las coordenadas angulares, medidas desde $A$, de los otros dos puntos se encuentran en un cuadrado (digamos $[-\pi,\pi]^2$). En la imagen de abajo, la región verde es la deseada. Tiene un área de $1/4$ del área del cuadrado. Por lo tanto, la probabilidad es de $1/4$.