Polinomio cuyas raíces no son enteros, pero casi de modo

Question

Deje $\varepsilon \in (0,\frac{1}{2})$. Decir que un número real $x$ es un $\varepsilon$-pseudointeger si no es un entero, pero a distancia en la la mayoría de las $\varepsilon$ a partir de un número entero (lo $|x-i|\leq \varepsilon, x\neq i$ para algunos entero $i$).

Es cierto que para cualquier $d\geq 2$$\varepsilon$, existe un polinomio monic de grado $d$ con coeficientes enteros, cuyas raíces son simples, reales e $\varepsilon$-pseudointegers ?

Al $d=2$, por ejemplo, $X^2-(n^2+1)$ donde $n=\lceil \frac{1}{2\varepsilon} \rceil$ es una respuesta.

Estoy buscando una solución explícita en lugar de un no-constructiva de la prueba.

Answer 1

Sí, parece ser cierto.

Si $d = 2k$, entonces el ejemplo puede ser construido con la idea, similar a uno, usado en tu ejemplo, lo que significa que el polinomio se parecen a $\prod_{i = 1}^{k}(X^2 - i^2(n^2 + 1))$. Es claramente monic, ha $d$ distintas raíces reales y por la elección de $n = \lceil\frac{d}{2ε}\rceil$ nos puede explicar el aumento en la diferencia inicial $(\sqrt{n^2 + 1} - n)$ por un factor de $d$.

Si $d$ es impar (particularmente $3 + 2k$), ejemplo será un poco más difícil de encontrar. Todavía, vamos a nuestro necesarios polinomio ser $(P(X) + 1)*\prod_{i = 1}^{k}(X^2 - i^2(n^2 + 1))$ donde $P(X)$ es de la forma $X(X^2 - p^2)$. $P(.)$ tiene 3 entero raíces $\{-p, 0, p\}$, pero lo que es interesante es que los valores de $P'(.)$ correspondientes a las raíces: $2p^2, -p^2$ $2p^2$ respectivamente. Esta observación da una idea de que por la elección adecuada lo suficientemente grande como $p$ no voy a cambiar de raíces mucho cuando tome $P(.) + 1$ en lugar de $P(.)$.

Ahora a una pregunta de la realidad, la búsqueda de $p$ dependiendo $ε$: parece obvio que existe y de que yo podría tratar de presentar detalles, pero por ahora parece que sería relativamente largo y no muy emocionante de por sí.

Answer 2

Tengo que interpretar los "todas las raíces son simples, reales e $\epsilon$-pseudointegers" como "todas las raíces son simples, reales, pero no entero, y $\epsilon$-pseudointegers"; de lo contrario $ (X-1)(X-2) \cdots (X-d) $ es una solución trivial.

La respuesta es sí si $d$ es incluso.

Su idea de la obtención de soluciones de la forma $ \sqrt{n^2 +1} $ es muy bueno y puede ser extendido con bastante facilidad. De hecho, todos los números de la forma $ \sqrt{N^2 +1} $ están más cerca de sus respectivos entero $N$ $ \sqrt{n^2 +1} $ $n$ si $N > n$. Rigurosamente,

$$ N>n \implies \sqrt{N^2 +1} - N < \sqrt{n^2 + 1} - n $$

un hecho que no es difícil de demostrar.

Por lo tanto

$$ (X^2 - (N_1^2 + 1)) \cdot (X^2 - (N_2^2 + 1)) \cdots (X^2 - (N_d^2 + 1)) $$

es un polinomio de grado $2d$, $N_1, N_2, \dots, N_d$ distintos números enteros, y $N_i \geq \lceil {\frac{1}{2 \epsilon}} \rceil, \forall i \in \{ 1,2, \dots, k \} $, cuyas soluciones son distintas, reales, pero no enteros, y $\epsilon$-pseudointegers.