La probabilidad de que dos personas hablan al mismo tiempo

Question

El otro día estaba hablando con un amigo, y entonces uno de esos momentos de calma en la conversación vino, donde no teníamos nada más que decir sobre el tema actual y un nuevo tema no de inmediato vienen a la mente. Ambos nos decidimos poner fin a la brecha, y comienzan a hablar al mismo tiempo, como a veces sucede. ¿Cuáles son las probabilidades de que eso ocurra? Pensé. Traté de hacerlo, pero mi falta de conocimientos en probabilidad y estadística (una clase que estoy tomando el próximo semestre, a pesar de que) me impidieron llegar muy lejos.

En primer lugar, vamos a contar a dos personas hablando en un segundo el uno del otro como romper la brecha. Que parece un número razonable.

Segundo, parece que la duración media de estas brechas entre los temas está a sólo unos minutos, y más a menudo que no, se rompen por una persona o por el otro, en lugar de intentar simultáneamente. Supongo que hay algo de razonable una primera aproximación de la fórmula $p(t)$ a un modelo de la probabilidad de que una persona va a hablar en el tiempo $t$, entonces esas probabilidades son de alguna manera combinada (la suma? la multiplicación?) para el número de personas en la conversación, y se obtiene el resultado.

¿Cómo puedo encontrar la solución a partir de aquí?

Answer 1

Suponga que usted acaba de terminar de hablar acerca de un tema. Supongamos que tenemos $n$ de la gente.

Si modelamos el número de segundos que el $i^{th}$ persona normalmente se lleva a iniciar una nueva conversación como una variable aleatoria continua $S_i$, lo que tenemos que calcular es la probabilidad de que, en una muestra de estas n variables aleatorias, los dos primeros ocurrir dentro de 1 segundo el uno del otro.

Una suposición natural es que cada uno de los $S_i$ es exponencialmente distribuida, y que cada uno toma, en promedio, al mismo tiempo para iniciar un nuevo tema (probablemente no sea cierto, pero vamos a mantenerlo simple por ahora). Esto significa: $$p(S_i = x) = \lambda e^{-\lambda x}$$

El parámetro $\lambda$ es la inversa de la media de tiempo que una persona tarda en venir para arriba con un nuevo tema. Con el fin de simplificar las cosas, vamos a pensar en una versión donde sólo hay 2 personas de habla, que desea $p(|S_1 - S_2|) < 1$, $p(S_2 \in [S_1, S_1+1]) + p(S_1 \in [S_2, S_2+1])$ Esto es equivalente a:

$$\int_0^{\infty} \int_{s_1}^{s_1+1} p(S_1=s_1) \cdot p(S_2=s_2) ds_2 ds_1 + \int_0^{\infty} \int_{s_2}^{s_2+1} p(S_1=s_1) \cdot p(S_2=s_2) ds_1 ds_2 $$

Dado que las distribuciones de probabilidad para $S_1$ $S_2$ son los mismos, tenemos:

$$2 \cdot \int_0^{\infty} \int_{s_1}^{s_1+1} p(S_1=s_1) \cdot p(S_2=s_2) ds_2 ds_1$$

Sustitución de la función de densidad de probabilidad:

$$ 2 \cdot \int_0^{\infty} \lambda e^{-\lambda s_1} ds_1 \int_{s_1}^{s_1+1} \lambda e^{-\lambda s_2} ds_2$$

Es fácil integrar la exponencial pdf (¡inténtelo!) y el resultado es $1 - e^{-\lambda}$. Sin sorpresa, la probabilidad de que dos personas comienzan un tema casi al mismo tiempo que crece con $\lambda$. Un gran $\lambda$ significa que la gente tome poco de tiempo para iniciar un nuevo tema en promedio, por lo que la probabilidad de colisión aumenta.

Si desea modelo para dos personas que vienen con un nuevo tema a diferentes velocidades, puede utilizar dos diferentes distribuciones con $\lambda_1$$\lambda_2$. Esta vez usted tiene que calcular los dos originales de las integrales. Este cálculo se obtiene: $$\frac{(1-e^{-\lambda_2})\lambda_1 + (1-e^{-\lambda_1})\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$$

De nuevo, como el $\lambda$ aumentar la probabilidad de obtener dos personas hablando al mismo tiempo aumenta. Puede comprobar el mapa de calor de abajo para ver su forma. El eje x representa el tiempo promedio en la primera persona necesita para iniciar un nuevo tema ($\lambda_1^{-1}$) y el eje de la misma para la segunda persona ($\lambda_2^{-2}$).

Así que, ahora que hemos resuelto esto para el caso de 2 personas ¿cómo podemos resolver el caso de $n$? Creo que es probablemente más fácil si tratamos de calcular la probabilidad de que el caso contrario: que una sola persona viene con el tema, lo que significa que todos los demás han llegado con un nuevo tema más de 1 segundo más tarde.

La probabilidad de que la primera persona que viene con un nuevo tema solo es: $$\prod_{i=2}^n p(S_i > S_1 + 1)$$

La probabilidad de que cualquier persona que viene con el tema solo es la suma de los anteriores para cada persona: $$\sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i} p(S_j > S_i + 1)$$

Supongamos de nuevo que $S_i$ tiene una distribución exponencial con parámetro de $\lambda_i$. Primero vamos a determinar cuál es la integral de $p(S_j > S_i + 1)$:

$$\int_0^{\infty} \int_{s_1+1}^{\infty} p(S_i=s_i) \cdot p(S_j=s_j) ds_j ds_i$$

La solución de esta integral se obtiene:

$$\frac{\lambda_i e^{-\lambda_j}}{\lambda_i + \lambda_j}$$

Por lo tanto, la probabilidad de que dos personas iniciar un nuevo tema en "el mismo tiempo" es:

$$1 - \sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i} \frac{\lambda_i e^{-\lambda_j}}{\lambda_i + \lambda_j} $$

Si todo el mundo lleva el mismo tiempo en $\lambda^{-1}$, en promedio, para comenzar un nuevo tema, el anterior se transforma en:

$$ 1 - \sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i} \frac{\lambda e^{-\lambda}}{2 \lambda} = 1 - \sum_{i=1}^n \frac{e^{-(n-1)\lambda}}{2^{n-1}} = 1 - n \frac{e^{-(n-1)\lambda}}{2^{n-1}}$$

Como una comprobación de validez, si usted toma el $n$ a ser 2, el anterior se simplifica a nuestra fórmula original $1 - e^{-\lambda}$ =)