Iba a estar derecho en el pensamiento de que aunque la función de $f(x)=x^2\sin({1\over x^2})$ tiene una infinidad de gradiente, aún de manera uniforme continua? Gracias.
Respuesta
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Desde $x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$ no se define en cero, supongo que nos vamos a $f(0)=0$. La función uniformemente continua en todos los de $\mathbb{R}$ porque es continua y tiene un límite al infinito.
El derivado de la toma arbitraria de grandes y pequeños valores en cualquier vecindad de cero. En particular, la derivada no es continua en a $0$, y tiene una discontinuidad de segunda especie.
Observación: Se puede demostrar que si la derivada de una función es discontinua, debe ser una discontinuidad de segunda especie.
Permite probar algunas de las anteriores: Para $x\neq 0$ tenemos que $$f^'(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)-\frac{1}{x}\cos\left(\frac{1}{x^2}\right).$$ From this we see that the derivative does indeed take arbitrary large positive and negative values as we approach $0$ since $\frac{1}{x}$ becomes arbitrary large and since $\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)$ oscila.
En $x=0$, la derivada es $$f^(0)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{h^2\sin\left(\frac{1}{h^2}\right)-0}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} h\sin\left(\frac{1}{h^2}\right)=0$$ by the squeeze theorem. Hence $f$ is differentiable everywhere, but $f^'$ is discontinuous at $0$.
