Tenemos dos postores que jugar una subasta de segundo precio (o subasta de Vickrey si prefiere). Deje que el precio de reserva se $r$. El licitante conoce su propia valoración, pero se ve a la valoración de los rivales como incierto y distribuidos de manera uniforme en la unidad de intervalo.
Conjetura: los Postores con valoraciones por debajo de $r$ oferta cero y los postores con la valoración por encima de $r$ oferta de su valoración. La utilidad esperada de postor 1 de la licitación por debajo de $r$ es cero y la utilidad de la licitación $b>r$ cuando su valoración es $v_1$ y el postor 2 sigue esta estrategia es: $$U_1(b|v_1)=\int_{0}^{r} (v_1-r) dy + \int_{r}^{b} (v_1-y) dy\, ,$$ clearly, the best response of player 1 is to choose $b=v_1$ if and only if $v_1>r$. Un simétrica razonamiento establece el mismo para el jugador 2, por lo tanto la estrategia que se describe en la conjetura es simétrica, Bayesiano-equilibrio de Nash (hay otros pero son débilmente dominada estrategias).
El ingreso es entonces: \begin{align*}R&=\underbrace{\int_0^r\int_0^r 0\, dx \,dy}_{\text{no one bids}}\quad+\underbrace{2\int_0^r\int_r^1 r\,dx\,dy}_{\text{one of the bidders stays out, winner pays }r}+\underbrace{\int_r^1\int_r^1 \min(x,y)\,dx\,dy}_{\text{both active}}\\&=0+2r(r-0)(1-r)+\int_r^1\int_r^y x \,dx\,dy+\int_r^1\int_y^1y\,dx\,dy=\\&=2r^2(1-r)+\int_r^1\left.\dfrac{x^2}{2}\right|_{x=r}^y\,dy+\int_r^1 y(1-y)dy=\\&=2r^2(1-r)+\int_r^1\dfrac{y^2-r^2}{2}\,dy+\int_r^1 y(1-y)dy=\\&=2r^2(1-r)-\frac{(1-r)r^2}{2}+\int_r^1 \left(y-\frac{y^2}{2}\right)\,dy\\&= \frac 32 r^2(1-r)+\left.\left(\frac {y^2}2-\frac {y^3}6\right)\right|_{y=r}^1=\frac 32 r^2(1-r)+\left(\frac 12-\frac 16\right)-\left(\frac {r^2}2-\frac {r^3}6\right)=\\ &=\frac 13 +r^2-\frac 43 r^3\end{align*}
$$ r=\frac 12\Longrightarrow R=\frac 5{12}\quad\blacksquare$$
Comentario: $R$ es el aumento en $r=0$ (como en Myerson (1983) 's óptimo de la subasta, el mejor precio de reserva es positivo)
