Una serie que involucra la recíproca de la armónica de los números

Question

¿Cómo puedo resolver esta pregunta:

Si $$E_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}+ \cdots +\frac{1}{2n}$$ and $$A_n = (2n+1)(E_n)(E_{n+1})$$ Find $$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{A_n}$$

Yo: sabemos que $$E_n = \frac{H_n}{2}$$ where $H_n$ is the harmonic series. So $$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{A_n} = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{4}{(2n+1)(H_n)(H_{n+1})}$$ Y me las arreglé para simplificar $$\frac{1}{(H_n)(H_{n+1})} = (n+1)\left(\frac{1}{H_n} - \frac{1}{H_{n+1}}\right)$$

Pero es que ahora me he metido. Me quedo atascado después de esto. Cualquier ayuda/sugerencias se agradece enormemente.

Answer 1

de matemáticas.SÍ, mis más sinceras disculpas, pero la pregunta estaba mal escrito, $A_n$ se supone que ser $$(2n+2)(E_n)(E_{n+1})$$ not $$(2n+1)(E_n)(E_{n+1})$$ que como se puede ver a partir de mi trabajo hace que la suma mucho más sencillo y fácil para encontrar una forma cerrada.

Una derivación sobre cómo resolver el problema: $$\begin{align} \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{A_n} &= \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{4}{(2n+2)(H_n)(H_{n+1})} \\ &= \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{4}{(2n+2)}*(n+1)*\left(\frac{1}{H_n} - \frac{1}{H_{n+1}}\right) \\ &= \sum_{n = 1}^{\infty}2\left(\frac{1}{H_n} - \frac{1}{H_{n+1}}\right) \\ &= 2\left(\frac{1}{H_1}\right) \\ &= 2 \end{align}$$