Ideales en la localización de los dominios de Dedekind

Question

Si $A$ es un dominio de Dedekind y $a,b$ son ideales, entonces ¿por qué $aA_p⊂bA_p$ por cada primer ideal $p$ implica que $a\subset b$?

He leído en Milne notas, sino que se alude a la DVR y no estoy familiarizado con ese concepto.

Answer 1

Deje $x$ mentira en el primer ideal. Consideremos el conjunto a $I$ de los elementos de la $a$ $A$ tal que $ax$ es en el segundo ideal. Compruebe que $I$ es un ideal y que la hipótesis implica que $I$ no figura en ningún distinto de cero el primer ideal de $A$. Por lo tanto $I=A$, y por lo $1$$I$.

Answer 2

Factor $a$ $b$ en su producto finito de primer ideales. Si decir $$b=(p_1) \cdots (p_n),$$ $b_{p_i} = (p_i)_p$, por lo que tiene que $a$ también tienen $$(p_1) \cdots (p_n)$$ in its factorization. Thus, it must be contained in $b$.