Determinar todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ que satisface $m!+n!=m^n$
He encontrado fácilmente los pares de $(2,2)$ $(2,3)$ pero no puedo demostrar que estos son los únicos pares posibles.
Cualquier sugerencias?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Andy
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Esta no es una respuesta completa, pero tiene las ideas principales que usted necesita.
En primer lugar, permite obtener la capacidad de ejercer un límite inferior en $m$ después de comprobar que sólo un número finito de pares. Esto se puede hacer tomando nota de que $m^n>n!$, así que por Stirling aproximación, $n<em$. Así, podemos dividir el problema entre el $m<m^*$ $m \geq m^*$ directamente la comprobación de los casos $m=1,2,\dots,m^*-1$$n=1,2,\dots,\lfloor em \rfloor$.
Segundo, veamos lo que ocurre si $m$ es grande. Similar a la anterior, si suponemos $m>e$, luego a Stirling aproximación aplicada a $m^n>m!$ implica
$$m \leq \frac{n}{1-1/\ln(m)}.$$
Por lo que es suficiente para proporcionar un límite superior en $n$ para finalizar este caso.
Tercero, debemos de $r=\min \{ m,n \}$. A continuación, $r!$ divide $m^n$ $r\#$ divide $m$ donde $\#$ es el primorial de la función. Por lo tanto, en particular,$r\# \leq m$.
Así que hay dos casos: $r=m$$r=n$. Considere la posibilidad de $r=m$. Por Bertand del postulado de la si $m>2$, entonces hay un primer $p$$m/2$$m$, y por lo $m\# \geq 2p>m$. Por lo $r=m$ sólo puede producirse por $m \leq 2$.
$r=n$ implica $n\# \leq m$. Si asumimos $m \geq 8$,$1-1/\ln(m) \leq 2$, por lo que para $m \geq 8$ la desigualdad anterior da
$$n\# \leq 2n.$$
La aplicación de Bertrand postulado dos veces de la misma manera que el caso anterior implica que $n\# \geq n^2/8$. Por lo tanto $n \leq 16$.
Juntando las piezas, dividimos el problema entre el$m<8$$m \geq 8$. En el caso de $m<8$ tenemos $n \leq \lfloor em \rfloor$, que es del orden de 100 casos de verificación. En el caso de $m \geq 8$ tenemos $n \leq 16$$m \leq 2n$, que es de nuevo en el orden de 100 casos de verificación.
AliSami
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