La igualdad de definición

Question

En su libro "Análisis de la 1", de Terence Tao escribe:

Por lo tanto, desde el punto de vista de la lógica, podemos definir a la igualdad en sin embargo, tenemos un favor, en la medida obedece a la reflexiva, la simetría,la y transitiva axiomas, y es consistente con todas las demás operaciones en la clase de objetos en la discusión en el sentido de que la sustitución axioma de que era cierto para todas estas operaciones.

Así puede uno, por ejemplo, definir que dos funciones $f, g\colon A\to B$ son iguales si están de acuerdo en casi todas partes? Intuitivamente, yo diría que esto contradice el axioma de sustitución: Por ejemplo, considere las siguientes funciones de la tipo $\mathbb R\to\mathbb R$: $f(x) = x$ para todos los $x$ $g(y) = y$ por cada $y\not = 3$, $g(3) = 4$. Luego tenemos a $f=g$ debido a nuestra definición (hay sólo un número finito de argumentos en los que las funciones de acuerdo (de hecho sólo hay una: $3$), de modo que sean iguales). Pero por el axioma de sustitución, el siguiente debe contener: $f(3) = g(3)$. Ahora estoy un poco confundido.

Answer 1

Tao es decir que puede definir la igualdad, sin embargo, te quiero como siempre y cuando sea una relación de equivalencia y satisface el axioma de sustitución (para todas las operaciones que tiene en un determinado contexto). Así, desde su definición no satisface el axioma de sustitución (suponiendo que tiene la evaluación en un punto como una de sus operaciones), es no una definición apropiada de la igualdad.

Usted puede elegir para definir funciones son iguales si tienen el mismo valor en casi todas partes, pero después de lo que has demostrado es que esas "funciones" que no pueden ser evaluados en los puntos. Es decir, si se define la igualdad de esta manera, entonces usted no puede definir lo "$f(3)$" significa. Por lo general esta frase no en términos de la definición de "igualdad", sino en términos de considerar el conjunto de clases de equivalencia con respecto a una relación de equivalencia (es decir, la relación de ser el mismo en casi todas partes).

Answer 2

La Sustitución axioma de la igualdad en la lógica de primer orden, dice :

$x = y → (\phi → \phi')$

donde $\phi$ es una fórmula y $\phi'$ se obtiene mediante la sustitución de cualquier número de apariciones libres de $x$$\phi$$y$.

Así, en el ejemplo, los "objetos" son las funciones $f$ $g$ y juegan el papel de valor para las variables de $x$$y$.

Por lo tanto, suponiendo que se expresa en términos formales la declaración "$x \text { is countinuous}$", el axioma de licencias de nosotros para probar :

$f=g \to (f \text { is countinuous } \to g \text { is countinuous })$.

Pero los objetos involucrados son las funciones de $f$ $g$ y no los números de $f(3)$ $g(3)$.