Curl de unidad vector normal a una superficie es igual a cero?

Question

Tengo un campo escalar $\phi$. A partir de este campo, defino una iso de la superficie de $\phi=\phi_{iso}$.

La unidad vector normal a esta superficie es

$\vec{n}=\left(\frac{\nabla\phi}{|\nabla\phi|}\right)_{\phi_{iso}}$

Tengo un libro, donde el autor dice: Para cualquier unidad de superficie normal del vector de las siguientes es verdadera:

$\nabla\times\vec{n}=0$

He encontrado algunas otras fuentes dicen lo mismo:

rot(n)=0 ("desde rot(n)=0")

curl(n)=0 en la página 4 entre eq. 20 y 21 de

Esto es cierto para cualquier superficie? Porque si trato de demostrar esto a mí mismo, me quedo pegado muy rápido:

$\nabla\times\vec{n}=\nabla\times\left(\frac{\nabla\phi}{|\nabla\phi|}\right)= \nabla\left(\frac{1}{|\nabla\phi|}\right)\times\nabla\phi+\frac{1}{|\nabla\phi|}\underbrace{\nabla\times\nabla\phi}_{=0}=\frac{1}{|\nabla\phi|^2}\nabla(|\nabla\phi|)\times\nabla\phi$

No veo por qué se supone que esta es igual a cero, puesto $|\nabla\phi|\ne\text{const}$ generalmente. ¿Alguien tiene una idea?

Answer 1

Realmente depende de cómo se defina el campo de vectores $\vec{n}$ LEJOS de la superficie de la $\phi = \phi_{iso}$. En la superficie de la $\vec{n}$ está bien definido (hasta la elección de la orientación).

1. Opción uno: definir $\vec{n}$, como lo hizo, a nivel mundial el gradiente normalizado de $\phi$. Es decir,$\vec{n} = \frac{\nabla \phi}{|\nabla\phi|}$. En este caso,$\nabla\times \vec{n} = 0$, cuando se evaluó en la superficie de la $\{\phi = \phi_{iso}\}$, si y sólo si $|\nabla \phi|$ es constante a lo largo de la superficie.

2. Opción dos: olvido más o menos acerca de la función de $\phi$. Definir la función $$ \psi = \frac{1}{|\nabla \phi|} (\phi - \phi_{iso}) $$ Observar que la superficie sobre la que están interesados es en la superficie de la $\{ \psi = 0\}$. Calcular el gradiente de $\nabla \psi$ tienes que $$ \nabla \psi = \frac{\nabla\phi}{|\nabla \phi|} - \frac{(\phi-\phi_{iso}) \nabla \phi \cdot \nabla^2\phi}{|\nabla\phi|^3} $$ La clave está en que el segundo término se desvanece en la superficie, ya que no $\phi = \phi_{iso}$. Por lo $\nabla\psi$ restringido a la superficie es todavía la unidad normal de campo vectorial. Pero $\nabla \times (\nabla \psi)$ es claramente cero. (Tenga en cuenta, sin embargo, $\nabla\psi$ no está garantizado a ser un vector unitario campo, lejos de la superficie.)

---

Más en general: dado un compacto de superficie lisa $\Sigma\subset \mathbb{R}^3$, existe un radio de $r > 0$ de manera tal que en el conjunto de $S = \{ x\in \mathbb{R}^3: \mathrm{dist}(x,\Sigma) < r\}$ podemos resolver la ecuación eikonal $|\nabla \Psi| = 1$ para obtener una función de $\Psi:S \to\mathbb{R}$ tal que $\Sigma = \Psi^{-1}(0)$ $\nabla \Psi$ es la unidad normal del vector de campo para cualquier nivel de $\Psi^{-1}(c)$. A continuación, en esta formulación, vemos que la unidad normal de campo vectorial $\vec{n} = \nabla \Psi$ es curl libre en todas partes en $S$. El número de $r$, lo que genéricamente es finito, está relacionada con el radio de curvatura de $\Sigma$.