¿Por qué la existencia de $\frac{\partial f}{\partial x}$ no implica que $\frac{\partial f}{\partial x}$ es continua?

Question

Para $f(x)$, la existencia de $f'(x)$ implica la continuidad de la $f(x)$. Y supongo que también implica la continuidad de la $f'(x)$.

Mi pregunta es ¿por qué en una función de $g(x,y)$, es la existencia de $g_x$ $g_y$ no condición suficiente para la continuidad de la $g_x$ $g_y$ y, por tanto, la continuidad de la función?

Para mí, parece que la existencia de $f'(x)$ $g_x$ debe tanto implica la continuidad de la $f'(x)$ $g_x$ o no. ¿Por qué son diferentes en cada caso?

Answer 1

El contraejemplo que muestre la existencia de $f'$ no implica la continuidad de la $f'$ es

$f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}$

Esto es diferente que el punto del texto, esto se refiere a una conclusión a la que saltó a la.

La idea de este texto es que, incluso si los parciales existen en todas partes, la función todavía no podía ser continua, debido a que el comportamiento en direcciones distintas a la horizontal/vertical. Algo a considerar es $xy/(x^2+y^2)$ o algo (bueno en $x$ $y$ dirección de origen, pero no para los demás).

Answer 2

Mi pregunta es ¿por qué en una función de $g(x,y)$, es la existencia de $g_x$ $g_y$ no condición suficiente para la continuidad de la $g_x$ $g_y$ y, por tanto, la continuidad de la función?

Dos variables no hacer las cosas mejor, usted puede tomar una variable contraejemplo $f(x)$ y deje $g(x,y)=f(x)$. Puede empeora las cosas, porque las derivadas direccionales no puede decirle toda la historia sobre el comportamiento de como se enfoque a lo largo de otras direcciones, como $g(x,y) = \frac{x}{x-y}$.

$f(x)$ es "más suave" de $f'(x)$, siendo su integral (por lo general). Funciones discontinuas puede ser integrado a la continua, por ejemplo. Para obtener una todas partes definidas $f'$ lleva más trabajo, como en la otra respuesta, pero la integración es un indicio de que no puede haber una razón para esperar que los derivados sean bien atendidos.

Answer 3

Aquí está una función: $u(x,y) = 1$ si $x=0$ o $y=0$, e $u(x,y) = 0$ lo contrario. A continuación, $u_x$ $u_y$ ambos existen en $(0,0)$, pero, ciertamente, $u$ no es continua allí.

Answer 4

Para el título específico de la pregunta, hay otra clase de contraejemplos: elija $h(y)$ ser cualquier discontinua en función de una variable, y deje $f(x,y) = x h(y)$.