Gamma $\Gamma$ cumple con $\gamma$

Question

Estoy buscando una de las pruebas de los siguientes límites:

$$ \lim_{x \to \infty} \Gamma \left(1+\frac{1}{x} \right)^x = e^{-\gamma}. $$ Me parece que este límite muy interesante como se relaciona la función gamma $\Gamma$ con el otro gamma $\gamma$, que es el de Euler-Mascheroni constante.

El segundo límite cuya prueba estoy interesado en es $$ \lim_{x \to 0} x \Gamma \left(1+\frac{1}{x} \right)^x = e^{-1}. $$

Answer 1

Como se muestra en esta respuesta, $\Gamma'(1)=-\gamma$. Por lo tanto, $\Gamma\left(1+\frac1x\right)=1-\frac\gamma{x}+O\left(\frac1{x^2}\right)$ y por lo tanto, $$ x\log\left(\Gamma\left(1+\frac1x\right)\right)=-\gamma+O\left(\frac1x\right) $$ y $$ \lim_{x\to\infty}\Gamma\left(1+\frac1x\right)^{\large x}=e^{-\gamma} $$

---

La segunda pregunta es esencialmente el mismo como $$ \lim_{n\to\infty}\frac1n(n!)^{1/n}=\frac1e $$ se menciona en esta respuesta si establecemos $x=\frac1n$, ya que el $n!=\Gamma(1+n)$.

Por Stirling Aproximación, $$ n!\sim\sqrt{2\pi n}\,n^ne^{-n} $$ por lo tanto, $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac1n(n!)^{1/n} &=\lim_{n\to\infty}\frac1n\frac ne\lim_{n\to\infty}\sqrt{2\pi n}^{1/n}\\ &=\frac1e \end{align} $$

Answer 2

• Primer límite: tomar el logaritmo y el uso que $\gamma=-\psi(1)=-\Gamma'(1)$.

• Segundo límite: tomar el logaritmo y uso de la aproximación de Stirling $\ln\Gamma(1+z)=z(\ln z-1)+O(1)$$z\rightarrow+\infty$.

Answer 3

Una excelente discusión de este tema se puede encontrar en el libro de La Función Gamma por James Bonnar. En lo que respecta a la primera cuestión, véase el Capítulo 8, que cubre el Weierstrass de la forma del producto de la función Gamma. En lo que respecta a la segunda cuestión, véase el Capítulo 15 en la fórmula de Stirling. Ambos de estos resultados se derivan en el libro.