Golomb gobernantes son ampliamente investigado, pero aparte de un viejo problema por Dudeney que no he podido encontrar nada acerca de la cíclica Golomb gobernantes.
Un cíclica de la regla de Golomb sería un círculo entero de la longitud en la que los marcadores se colocan en el entero de las distancias, de tal manera que todas las distancias entre dos diferentes marcadores son diferentes. Claramente con $n$ marcas hay $n(n-1)$ distancias a tener en cuenta. Un perfecto cíclico de la regla de Golomb (PCGR) con $n$ marcas tienen todas las distancias $1,\ldots,n(n-1)$ y una longitud total de $n(n-1)+1$. El $n$ marcas de romper el círculo en $n$ piezas de número entero de longitud, dando una secuencia de $n$ consecutivos pieza de longitud. Esto se puede hacer en $2n$ diferentes formas (podemos empezar a $n$ diferentes puntos y, a continuación, mover hacia la derecha o hacia la izquierda). Vamos a utilizar el lexicográficamente más pequeña secuencia para describir la configuración.
Siguientes cosas son fáciles de ver:
. $[1,2]$ es el único PCGR con dos marcas (longitud: 3).
. $[1,2,4]$ es el único PCGR con tres marcas (longitud 7).
. $[1,3,2,7]$ e $[1,2,6,4]$ son la única PCGRs con cuatro marcas (longitud 13).
. No hay PCGR con cinco marcas (Vaya, esto resulta ser cierto, pero he encontrado la falla en el argumento).
Y aunque es muy fácil demostrar que no hay "normal" perfecto Golomb gobernantes con más de $4$ marcas, todavía no he sido capaz de llegar con una prueba de que no hay PCGR con más de $4$ marcas (porque no es cierto).
¿Alguien sabe cómo probar esto, o tal vez proporcionar referencias de la investigación sobre este tema?
