Cómo encontrar el cúbicos con raíces: $k$, $k^{-1}$ y $1-k$?

Question

Esta es la segunda parte de una pregunta que le pregunta lo mismo, pero para una ecuación cuadrática, que parte parecía estar bien. La siguiente parte se le pide que muestre que: $$x^3-\frac{3}{2}x^2-\frac{3}{2}x+1=0 $$ es la única cúbicos ecuación de la forma $x^3+px^2+qx+r=0$ donde $p,q,r \in \mathbb{R}$ que tiene las siguientes propiedades: Si $k$ es un (posiblemente complejas) de la raíz, a continuación, $k^{-1}$ es una raíz y, si $k$ es una raíz, a continuación, $1-k$ es una raíz.

Ahora la forma en que me intiallly fue sobre que iba a escribir el general cúbicos como: $$ x^3+px^2+qx+r=(x-k)(x-\frac{1}{k})(x-(1-k)) $$ Y, a continuación, tratar de deducir la necesaria ecuación, aunque me parece que no puede ser capaz de llegar a ella.

Un punto que me confunde un poco es que si dejamos $k$ ser una raíz, entonces sabemos que $k^{-1}$ $1-k$ son también raíces. Pero entonces no podía usted decir que $1-k^{-1}$ debe ser también una raíz y, en consecuencia, por lo que debe $1/(1-k^{-1})$. Por lo tanto, lo que implica que con el fin de satisfacer la raíz propiedades completamente debe ser de 6 raíces, pero, obviamente, esto tiene que estar mal.

Answer 1

Sugerencia $\ $ Ya que las raíces son cerrados bajo la reciprocidad, el polinomio es igual a su recíproco (inversa), lo $\,f = x^3 + px^2+px+1.\,$ Desde $\,g(x) = -f(1\!-\!x)\,$ tiene las mismas raíces y líder plazo, tiene la misma término constante $\, 1 = g(0) = -f(1) = -2p-2,\,$ $\ p=-3/2.$

Answer 2

Mediante la comparación de los coeficientes se obtiene: $r = k-1,q=1+k(1-k)+\frac{1-k}{k},p=-k-k^{-1}-1+k=k^{-1}-1$. A continuación,$k=r+1$, de la que sigue a $p=-1-(r+1)^{-1}$$q=1-r(r+1)- \frac{r}{r+1}$.

Ahora se debe demostrar que debe mantener $r=1$.

Debido a $1-k^{-1}$ es también una raíz (ya que la Sustitución de $k \mapsto k^{-1}$ en la raíz de la $1-k$ obtiene este resultado); esta raíz debe ser igual a $k^{-1}$. Esto es debido a que ya hay 2 raíces $k$ $k-1$ dado. Ahora, $1-k^{-1}=k^{-1}$ está satisfecho sólo por $k=2$ donde $r=1$.

Answer 3

Si expande hacia fuera que usted consigue $$ x^3 + px^2 + qx + r = x^3 - \left(1+\frac{1}{k}\right)x^2 + \left(k+\frac{1}{k}-k^2\right)x + k-1 $$ La coincidencia de términos, se puede ver que $$ 1+\frac{1}{k} = -p $$ $$ k + \frac{1}{k}-k^2 = q $$ $$ k-1=r$$ Ahora, las raíces de un cúbicos con coeficientes reales deben tener 3 raíces reales o 1 raíz real con un par complejo conjugado. Claramente si $k$ es real, todas las raíces serán reales. Si $k$ tiene un valor distinto de cero parte imaginaria, a continuación, $1-k$ también es compleja, y nunca es igual a $\bar{k}$, lo $k$ debe ser real.

Como se señaló en los comentarios, $1-k^{-1}$ debe ser una raíz (e iguales a uno de los otros 3).

Si $k < 0$, luego $k^{-1} < 0$, $1-k > 0$, y $1-k^{-1} > 0$, lo que sugiere $1-k=1-k^{-1}$, dando $k=1$, una contradicción.

Si $0<k<1$, luego $0<1-k<1$, $k^{-1}>1$, y $1-k^{-1} < 0$, lo $1-k^{-1}$ no puede ser igualada con alguna raíz.

Nos quedamos con el caso de $k>1$, por lo que $0<k^{-1}<1$, $1-k < 0$, y $0< 1-k^{-1}<1$, lo $1-k^{-1} = k^{-1}$ es la única coincidencia que sea posible, dando a $k=2$, que enchufar da los valores de $p,q,r$.

Tenga en cuenta que $k=0$ o $k=1$ resultaría en las raíces en el infinito.

Answer 4

Su inquietud la llevó a la pista de la derecha. Las raíces de la cúbico debe ser $$\{ k, \frac{1}{k}, 1-k, \frac{k-1}{k}, \frac{1}{1-k},\frac{k}{k-1} \} $$ Usted puede verificar que la aplicación del requisito de cualquiera de los últimos tres o las que usted acaba de obtener otros miembros de ese mismo conjunto.

De manera muy especial los valores de $k$ va a trabajar, los valores que causan esos seis expresiones para evaluar a sólo tres números. Resulta que las únicas soluciones que funcionan y también dar el producto de las raíces de un número real se euqivalent a la generada por $k=\frac{1}{2}$, lo que lleva a las raíces $$ \{ \frac{1}{2}, 2,-\frac{1}{2}, -1, 2, -1 \} = \{ \frac{1}{2}, 2,-1 \} \} $$ que son las raíces de la respuesta de la ecuación.

Answer 5

Cualquier cúbicos debe tener al menos una raíz real $k$. Si $k$ es real, entonces la $1/k$ $1-k$ son también reales. Pero $k$, $1/k$, y $1-k$ podemos ser todos iguales: Si $k=1-k$,$k=1/2$, en cuyo caso $1/k=2\not=k$. Por lo tanto, cualquier cúbicos con la prescrita la propiedad debe tener al menos dos raíces reales, y por lo tanto todas las tres raíces son reales.

Usted no puede tener $k=0$ como root desde $1/0$ no está definido. Ni puede $k=1$ ser una raíz, desde entonces $1-k=0$ sería una raíz. Por lo tanto, cualquier positiva raíces vienen en la reciprocidad de pares, lo que significa que no puede haber más de uno de estos pares. Por lo tanto, existe al menos un negativo de la raíz.

Pero no puede haber dos resultados negativos de las raíces: si $k_1$ $k_2$ son negativos, a continuación, $1-k_1$ $1-k_2$ son positivos. Por lo tanto no es exactamente un negativo de la raíz. En este punto, todo se desvela: Si $k$ es el único negativo de la raíz, a continuación,$1/k=k$, lo que implica $k=-1$, y por lo tanto $1-k=2$ $1/2$ son las otras dos raíces.