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Cómo encontrar a 2π0log(α+βcos(x))dx

Hay una forma cerrada de la fórmula de la siguiente integral

2π0log(α+βcos(x))dx

donde α β son constantes que asegurarse de que α+βcos(x)>0 cualquier x[0,2π].

5voto

Tom-Tom Puntos 4560

I(α,β)=2π0ln(α+βcosx)dx. We have \alfa>β0. Pues a partir de (1) Iα=2π01α+βcosxdx=2πα2β2 podemos integrar con respecto a α I(α,β)=2πln(α+α2β2)+C(β) Ahora usando (1) de nuevo Iβ=2π0cosxα+βcosxdx=2πβα+α2β2α2β2=2πβα2β2(α+α2β2) por un lado, y derivating (2) con respecto a β Iβ=2πβα2β2(α+α2β2)+C(β) llegamos a la conclusión de que C(β)=0. Ahora vamos a utilizar el valor deI(α,0)=2πlnα=2πln(2α)+C(0), por lo que tenemos I(α,β)=2πln(α+α2β2)2πln2.

Nota Para calcular la integral, he utilizado la exponencial de la descomposición de cos I\parcialα=2π01α+βcosxdx=2π02eix2αeix+βe2ix+βdx El que escribió esta integral como una integral de contorno Iα=2iC(0,1)dzβz2+2αz+β. Desde βz2+2αz+β=β(z+α+α2β2β)(z+αα2β2β)=β(zz+)(zz) uno puede usar el teorema de los residuos. Sólo hay un residuo en el interior de la unidad de disco (porque z+z=1), en z=(αα2β2)/β y el resultado es Iα=2i2πiβ(zz+)=2πα2β2. La integral de la Iβ se obtiene de la misma manera, tenemos Iβ=iC(0,1)z+z1βz2+2αz+βdz=i2πi(z+z1)β(zz+)i2πiβ=2πβα+α2β2α2β2 porque hay una segunda pole en z=0.

5voto

Yves Daoust Puntos 30126

I-2\pi\ln(\alpha)=\int_0^{2\pi}\ln(1+s\cos(x))dx=-\int_0^{2\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-s)^k\cos^k(x)}kdx\\ =-\pi\sum_{k=1}^\infty\frac1{k4^k}\binom{2k}ks^{2k}, where s=\frac\beta\alpha, |s|<1.

4voto

Olivia Puntos 9

Vamos a probar el famoso Feynman del truco!

Deje I(\beta) ser su integral. A continuación,I'(\beta)=\int^{2\pi}_0 \frac{\cos x }{\alpha+\beta\cos x}\mathrm{d} x. El uso de la tde sustitución de t=\tan x/2, lo vamos a conseguir I'(\beta)=\frac {2\pi} {\beta} -\frac{2\alpha\pi}{\beta\sqrt{\alpha^2-\beta^2}}. La integración es, I(\beta)=2\pi\log\beta+2\pi\alpha\operatorname{sech}^{-1}\frac{\beta}{\alpha}+C.

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