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Comprender la imagen de esta compleja transformación

Encuentra la imagen de la tira infinita $$0<y<1/(2c)$$ bajo la transformación $w=1/z$ . Dibuja la tira y su imagen.

Intento: Claramente $$\dfrac{-v}{u^2+v^2}<\dfrac{1}{2c}$$ da $$u^2 + (v+c)^2 > c^2$$ y la condición $y>0$ , da que $$v<0$$ Tengo problemas para dibujar la imagen de esta tira. ¿No nos dice la ecuación anterior que está formada por todos los puntos fuera del círculo $u^2+(v+c)^2 = c^2$ ? Pero otro problema sobre la imagen de un medio plano $$x<c_1$$ bajo la misma transformación, establece que la imagen debe ser el interior de un círculo. No veo cómo la imagen de la pregunta anterior, así como esta, podría ser interior de un círculo.

Gracias.

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Evan Puntos 3466

Parece que tienes toda la información para dibujar. La imagen son todos los puntos fuera de ese círculo, y por debajo del eje real. Si miras sólo la imagen del límite, el eje real mapeado al eje real y la línea horizontal en $y=1/(2c)$ mapeado a un círculo, y la imagen es la región entre esos dos.

En lo que respecta a otra línea que mapea a un círculo, esta es una propiedad general de una clase de transformaciones complejas llamadas Transformaciones Fraccionarias Lineales, o Transformaciones de Moebius, ver http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation que mapean líneas y círculos a otras líneas y círculos (o si quieres, sólo círculos a círculos, tratando las líneas como círculos con el origen en el infinito). En este caso, tus cálculos muestran de forma bastante explícita cómo las líneas se transforman en círculos.

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