Vector propio de la matriz

Question

Vectores $(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1)$ son vectores propios de la matriz $A$ . Demostrar que el vector $(1,2,2)$ es el vector propio de la matriz $A$ .

Tenemos:

$$A(1,0,0) = \lambda_1 (1,0,0) \\ A(0,1,1) = \lambda_2 (0,1,1) \\ A(1,1,1) = \lambda_3 (1,1,1) $$

Además me doy cuenta:

$$(1,1,1) = (1,0,0) + (0,1,1) \\ (1,2,2) = (1,0,0) + 2(0,1,1)$$

Porque $A(1,1,1) = A(1,0,0)+A(0,1,1)$ tenemos $\lambda_3 (1,1,1) = \lambda_1 (1,0,0) + \lambda_2 (0,1,1)$ de ahí $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3$ . Así que $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = \lambda.$

A continuación tengo $A(1,2,2) = A(1,0,0)+ 2A(0,1,1) = \lambda(1,0,0) + 2 \lambda(0,1,1) = \lambda (1,2,2)$ .

¿Funciona?

Answer 1

Consideremos un caso más general (y evitando deliberadamente los números para que quede más claro) $\mathbf{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ tiene vectores propios $\mathbf{x}_1\in\mathbb{R}^n$ , $\mathbf{x}_2\in\mathbb{C}^n$ y $\mathbf{x}_2+\mathbf{x}_1$ donde $\mathbf{x}_2$ y $\mathbf{x}_1$ son linealmente independientes. Entonces, para los valores propios $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\in\mathbb{C}$ ,

$\mathbf{Ax}_1=\lambda_1\mathbf{x}_1$

$\mathbf{Ax}_2=\lambda_2\mathbf{x}_2$

$\mathbf{A}\left(\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2\right)=\lambda_3\left(\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2\right)$

$\Rightarrow\left(\lambda_3-\lambda_1\right)\mathbf{x}_1=\left(\lambda_2-\lambda_3\right)\mathbf{x}_2$

De la condición de independencia lineal, $\lambda_3=\lambda_1=\lambda_2$ y, por tanto, cualquier vector $\mathbf{x}$ en el subespacio abarcado por $\mathbf{x}_1$ y $\mathbf{x}_2$ es un vector propio. Véase multiplicidad geométrica y espacio propio.