La divergencia de $p$ números primos y la convergencia de $m$ compuesto de números

Question

¿Existe una secuencia $(a_n)_{n\in \mathbb N} \in \mathbb C^{\mathbb N}$ tal forma que :

Para todos los $p$ números primos de la serie $\displaystyle \sum_{n\in \mathbb{N}} a_n^p$ diverge, y para todos los compuestos de $m>0$ serie $\displaystyle \sum_{n\in \mathbb N} a_n^m$ converge ?

Mi conjetura :

Sé que existen una serie de $\displaystyle\sum \frac{\cos(\frac{2}{3}\pi n)}{\ln(1+n)}$ convergen pero $$ \displaystyle\sum \left(\frac{\cos(\frac{2}{3}\pi n)}{\ln (1+n)}\right)^3 $$ se aparta así que creo que la respuesta es sí.

Y he visto que existen una serie convergente $\displaystyle\sum a_n$ tal que $$ \displaystyle\sum a_n^\alpha, \quad \alpha\in \mathbb{N}, \alpha>1 $$ diverge.

Prueba.

Por ejemplo $$ a_{3k}=\frac{2}{\ln(k)}, \quad a_{3k-1}=a_{3k+1}=-\frac{1}{\ln(k)} k=2,3,\cdots). $$

Answer 1

Este es el problema 5 desde el día 1 de 2013 IMC. Ver aquí para una solución, y la solución oficial.

Answer 2

Real secuencias, esto es imposible. Si la serie converge para cualquier exponente $m$,$a_n\rightarrow 0$$n\rightarrow\infty$, y, por tanto, $|a_n|^{m'} < |a_n|^{m}$ para suficientemente grande $n$ y cualquier $m'>m$. Por lo tanto, si la serie converge para cualquier incluso exponente, es absolutamente convergente para todos los más grandes exponentes. (En particular, si se converge para $m=4$, entonces se deben converger para todos los números primos $p\ge 5$.)

Answer 3

Que no puede existir positivos $a_n$ al menos. Tomar los números primos $p$$q$, y un compuesto de $m$ tal que $p < m < q$. Entonces si $\sum a_n^q$ converge, por la prueba de comparación $\sum a_n^m$ converge demasiado. Me parece que esto debería funcionar para todos los $a_n$, pero no veo la manera de demostrarlo con la guardia baja.