Explicación de la paradoja de Supplee

Question

Estaba leyendo sobre La paradoja de Supplee que trata sobre si un proyectil relativista, sometido a una aceleración gravitatoria uniforme, flotaría o se hundiría bajo el agua. Sin embargo, la solución de la paradoja me parece un poco confusa, como se indica en el enlace.

Dadas ciertas suposiciones sobre cómo tratar la fuerza gravitacional, argumentó que la bala se hunde con la aceleración $g (\gamma^2-1)$ donde g es la aceleración debida a la gravedad (que se supone uniforme en la escala del experimento mental) y $\gamma^2$ es el factor mencionado anteriormente.

Entiendo que en el marco de la bala, la forma del contenedor de fluido se altera ,es decir, el fondo marino se curva hacia arriba. Pero, ¿cuáles son los supuestos ciertos? ¿Cómo obtenemos la aceleración de la bala? ¿Y cómo concluimos que la bala se hunde?

Answer 1

No estoy seguro de dónde está usted inseguro, pero déjeme intentarlo. El comportamiento "real" se ve mejor en el marco del líquido. En este marco la bala se encogerá en comparación con su tamaño estacionario, y por lo tanto tendrá una mayor densidad que el agua (suponiendo que tienen la misma densidad cuando están estacionados).

La aceleración hacia abajo vendrá dada por la diferencia de densidad ( $\rho$ ) entre la bala y el agua como $$ a_{\mathrm{b}} = g\frac{\rho_b-\rho_w}{\rho_b} $$ usando eso $\rho_b=\rho_w \gamma^2$ entonces $$ a_{\mathrm{b}} = g\frac{\gamma^2-1}{\gamma^2} $$ Esto no es exactamente como en el artículo de la wikipedia (pero tiene más sentido ya que la aceleración llegará a la caída libre $a=g$ cuando $\gamma>>1$ .

En fin: la bala se hunde.

Ahora, desde el punto de vista de la bala el agua se vuelve más densa por un factor de $\gamma^2$ así que por el mismo argumento la bala debería subir con la aceleración $$ a_{\mathrm{b}} = g(1-\gamma^2). $$

Sin embargo, esta vez hay un efecto adicional. No sólo el agua se hará más densa, sino que el suelo del recipiente también empezará a subir. La aceleración hacia arriba del suelo del contenedor es más rápida que la aceleración hacia arriba de la bala.

Por lo tanto, aunque la bala está subiendo a través del fluido, el suelo sube aún más rápido y, finalmente, la bala llegará al fondo del tanque.

Paradoja resuelta ;)

Para entender por qué el suelo se eleva se puede pensar lo siguiente. Para modelar la existencia de la gravedad se puede utilizar el principio de equivalencia y verlo como si el fondo del mar se acelerara hacia arriba con una aceleración constante $g$ . Esto lo verás incluso si estás parado. Lo que ocurre cuando empiezas a moverte es que el suelo se contrae longitudinalmente (igual que el agua). Como resultado, parecerá que la aceleración hacia arriba del suelo se acelera (por algún factor de $\gamma$ ) Este impulso es suficiente para que el suelo alcance a la bala.

En el lenguaje de una fuerza gravitatoria esto correspondería a que la bala siente la fuerza de la gravedad más fuerte que el agua circundante (ya que se está moviendo) y por lo tanto es arrastrada hacia abajo.

Answer 2

Como la flotación es una fuerza de contacto y el movimiento es lo suficientemente rápido como para ser relativista, es ridículo despreciar la resistencia. De hecho, creo que es una locura no tener en cuenta la falta de uniformidad que surgirá si la bala va tan rápido en el agua. Su trayectoria se doblará, pero no por la gravedad. Se doblará en una dirección impredecible. Dicho esto...

• Supplee asumió que podía tratar la gravedad utilizando el principio de equivalencia. Calculó únicamente la fuerza de flotación y permitió que la fuerza gravitatoria se contabilizara mediante una aceleración.

  • Un objeto en caída libre tendría una aceleración nula (en lugar de lo que pensamos como una aceleración hacia abajo en $g$ ).
  • Un objeto "en reposo" como el agua no tiene una aceleración nula, sino una aceleración de $g$ al alza.
  • La bala que se mueve rápidamente a través del agua bajo flotación neutra) no está en aceleración cero (como diríamos en la mecánica newtoniana), sino que se acelera hacia arriba debido a la fuerza de flotación.

• Calcular la aceleración de la bala (en el marco inercial sin gravedad) es sólo cuestión de $F_B = \gamma m_0 a$ con la fuerza de flotación disminuida por un factor de $\gamma$ debido a la contracción de la longitud. Por lo tanto, la aceleración es $g/\gamma^2$ al alza.

• En el marco del laboratorio (agua inicialmente en reposo sin gravedad), la bala se hunde porque su aceleración hacia arriba es menor que la aceleración hacia arriba del agua y del lecho del lago ( $g$ ). Esto es transformar la aceleración en el marco del laboratorio donde el agua está realmente en reposo.

• En el marco de la bala (bala inicialmente en reposo sin gravedad), la bala acelera hacia arriba a $g$ y el agua/suelo se acelera hacia arriba a $g/\gamma^2$ (la inversa del marco anterior). Esto puede venir de la transformación de Lorentz de la aceleración del lago y la fuerza de flotación.

• El fondo del mar está "curvado hacia arriba" incluso en la mecánica newtoniana. Un objeto "en reposo" utilizando el principio de equivalencia tiene una posición no relativista de $y=\tfrac12 g t^2$ . La diferencia relativista es que, debido a la dilatación del tiempo, la curva es diferente. Esto termina por resolver la aparente paradoja.

Para más detalles, véase el artículo de Supplee (al que se hace referencia en el artículo de Wikipedia). Probablemente pueda encontrar una copia en línea. Sólo tienes que buscar el texto del resumen.

Answer 3

Estaba leyendo sobre la paradoja de Supplee, que consiste en saber si un proyectil relativista, sometido a una aceleración gravitatoria uniforme, flotaría o se hundiría bajo el agua. Sin embargo la solución de la paradoja me parece un poco confusa, como se da en el enlace.

No está muy claro, ¿verdad?

Dadas ciertas suposiciones sobre cómo tratar la fuerza gravitacional, argumentó que la bala se hunde con la aceleración $g (\gamma^2-1)$ donde g es la aceleración debida a la gravedad (que se supone uniforme en la escala del experimento mental) y $\gamma^2$ es el factor mencionado anteriormente.

Creo que eso es correcto en líneas generales, pero que hay una forma más sencilla de entender el porqué.

Entiendo que en el marco de la bala, la forma del contenedor de fluido se altera ,es decir, el fondo marino se curva hacia arriba. Pero, ¿cuáles son los supuestos ciertos? ¿Cómo obtenemos la aceleración de la bala? ¿Y cómo concluimos que la bala se hunde?

Un cuerpo en movimiento no cambia las cosas a su alrededor. El cuerpo cambia, y la forma en que interactúa con otras cosas cambia, pero esas otras cosas no. En cualquier caso: ¿cómo llegamos a la conclusión de que la bala se hunde? La sustituimos por una varilla muy larga. Una varilla "infinita". Cuando está inmóvil hay una determinada densidad de masa-energía o energía por unidad de longitud. Digamos que ésta es igual a la del agua. Así que la varilla no se hunde, ni se eleva. Pero ahora añadamos energía empujándola a lo largo, cada vez más rápido. Hemos aumentado la energía y la densidad de masa-energía por unidad de longitud, por lo que la varilla se hunde.