La forma cerrada para el infinito producto $\prod_{k=0}^\infty \frac{1}{2} (1+x^{1/3^k})$

Question

Es allí cualquier forma cerrada para el infinito producto:

$$f(x)=\prod_{k=0}^\infty \frac{1}{2} (1+x^{1/3^k})$$

Podemos suponer $0<x<1$.

Yo sé de un producto similar:

$$\prod_{k=0}^\infty \frac{1}{2} (1+x^{1/2^k})=\frac{x^2-1}{2 \ln x}$$

Pero no podemos aplicar el mismo método (es decir, utilizando la fórmula de $1-q^2=(1-q)(1+q)$) para el producto anterior.

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El producto surgió al considerar la secuencia iterativa:

$$a_{n+1}=\sqrt[3]{a_n \frac{(a_n+b_n)^2}{4}}, \qquad b_{n+1}=\sqrt[3]{b_n \frac{(a_n+b_n)^2}{4}}$$

Si ponemos:

$$x=\frac{b_0}{a_0},\qquad a_0>b_0$$

A continuación, se sigue que:

$$a_n^3=\prod_{k=0}^{n-1} \frac{1}{4} (1+x^{1/3^k})^2 a_0^3$$

Por lo tanto:

$$\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} b_n=\left(f \left(\frac{b_0}{a_0} \right) \right)^{2/3} a_0$$

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La comparación de la convergencia del producto y la secuencia puedo obtener errores comparables en cada paso. El producto es ligeramente mejor al principio.

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Debido a un comentario por GEdgar, bastante útil sustitución podría ser:

$$g(t)=\prod_{k=0}^\infty \frac{1}{2} (1+e^{t/3^k})$$

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Editar

Para todos los efectos prácticos, este infinito producto puede ser representada por una función lineal para $0.2<x<1$ con una precisión muy alta:

$$f(x) \approx 0.7248447 x+0.2731338$$

Los parámetros del ajuste lineal fueron obtenidos por mínimos cuadrados para $9$ puntos de$0.2$$1$. Aquí está el error. Estoy seguro de que algo de un cubo de ajuste va a conseguir los mejores resultados:

Answer 1

Para $x>0$, $$ f(x) = \prod_{k=0}^\infty\;\frac{1+x^{1/3^k}}{2} $$ Considerar el producto parcial $$ f_N(x) = \prod_{k=0}^N\;\frac{1+x^{1/3^k}}{2} $$ Ahora escribo $x=e^{2u}$, por lo que $$ \frac{1+x^{1/3^k}}{2}=\frac{1+e^{2u/3^k}}{2}= e^{u/3^k}\;\frac{e^{-u/3^k}+e^{u/3^k}}{2} = e^{u/3^k}\cosh\frac{u}{3^k} $$ El producto parcial es $$ f_N(x) = \left(\prod_{k=0}^N\;e^{u/3^k}\right)\left(\prod_{k=0}^N\cosh\frac{u}{3^k}\right) = \exp\left(\frac{3u}{2}-\frac{3u}{2\cdot3^{N+1}}\right)\prod_{k=0}^N\cosh\frac{u}{3^k} $$ y el límite es $$ f(x) = \exp\left(\frac{3u}{2}\right)\prod_{k=0}^\infty\cosh\frac{u}{3^k} =m(3u) $$ donde $m$ es el momento de generación de función para el Cantor de distribución, como se muestra AQUÍ. La razón de $3u$ e no $u$ es que el índice de $k$ comienza a $1$$m$$0$$f$.