Probar: $\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} < 2$

Question

Mientras no me cabe duda de que esta pregunta está cubierto en alguna otra parte me parece que no puede encontrar, o cualquier cosa lo suficientemente cerca como para que yo pueda trampolín. Yo sin embargo estoy tratando de demostrar $$\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} < 2$$ por inducción.

He visto muchas veces y comprobado antes, pero no puede recordar lo que hice. Veo que para los dos primeros términos de $n = 1, n=2$ llego:

para $n = 1$, $\frac{1}{1^2} = 1 < 2$ para $n = 2$, $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} = \frac{5}{4} < 2$

Ahora estoy confundido, sé que quiero mostrar esto funciona para el $n+1$ plazo, y estoy pensando, vamos a la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = A(n)$ Luego mire a mostrar la serie tiene por $A(n+1)$ Pero $A(n+1) = A(n) + \frac{1}{(n+1)^2}$, Pero ahora ¿qué? Si he intentado $A(n+1) - A(n) = \frac{1}{(n+1)^2}$ , pero tiene que demostrar que esto es menos de $2 - A(n)$. Estoy atascado.

Gracias por tus pensamientos,

Brian

Answer 1

Daniel comentario le da la respuesta (la manera más fácil, imo):

$$\frac1{n^2}\le \frac1{n(n-1)}=\frac1{n-1}-\frac1n\implies$$

$$\sum_{k=2}^n\frac1{k^2}\le\sum_{k=2}^n\left(\frac1{n-1}-\frac1n\right)=1-\frac12+\frac12-\frac13+\ldots+\frac1{n-1}-\frac1n=1-\frac1n\xrightarrow[n\to\infty]{}1$$

Ahora sólo añadir que el primer sumando en su serie con la anterior y está hecho.

Answer 2

Una forma es buscar en la parte inferior de Riemann suma, con la anchura $1$ bajo la gráfica de $f(x) = {1 \over x^2}$,$x = 1$$x = \infty$. Desde ${1 \over x^2}$ está disminuyendo, el menor Suma de Riemann se $\sum_{n=2}^{\infty} f(n) = \sum_{n=2}^{\infty} {1 \over n^2}$, el cual debe ser menor que la integral de la $\int_1^{\infty} {1 \over x^2}\,dx = 1$. Por lo tanto la adición de $1$ a esta desigualdad se da el resultado que usted busca.

Answer 3

Estoy inclinado a aceptar que la telescópico de la serie es la más pulida manera de obtener la desigualdad, pero aquí es un enfoque más:

$$\begin{align} \sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}&=1+{1\over4}+{1\over9}+{1\over16}+{1\over25}+{1\over36}+{1\over49}+{1\over64}+\cdots\cr &\lt 1+{1\over4}+{1\over4}+{1\over16}+{1\over16}+{1\over16}+{1\over16}+{1\over64}+\cdots\cr &=1+{1\over2}+{1\over4}+{1\over8}+\cdots\cr &=2\cr \end{align}$$

Answer 4

Sugerencia de Probar, en cambio, que

$$\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 2-\frac{1}{n}$$

Interesante, esta más fuerte ejercicio es un sencillo problema de la inducción, mientras que el resultado más débil que usted ha mencionado no puede ser probada directamente por inducción, por razones obvias (LHS aumenta, RHS es constante < --- en la versión más fuerte de ambos lados están aumentando, este problema se corrigió).