La construcción de matrices idempotente

Question

Hay un método general para la construcción de una matriz idempotente si se nos dan los valores de la diagonal de las entradas?

Answer 1

El siguiente debe trabajar "de forma genérica" (dada una lista de elementos de la diagonal $d_i, i=1\ldots n$ donde $\sum_{i=1}^n d_i = r$ es un número entero, $1 \le r \le n-1$). Comience con una matriz diagonal con $r$ $1$'s y $n-r$ $0$'s en la diagonal. Primero se conjuga con una matriz aleatoria. A continuación, para $k$ a partir del 1 de a $n-1$, conjugada con una matriz que difiere de la identidad sólo en la posición $(k,k+1)$, el elegido para hacer el $(k,k)$ elemento $d_k$.

Por ejemplo, supongamos que queremos un $3 \times 3$ idempotente matriz diagonal con los elementos de $2,1,-1$. Empezar con $\left(\matrix{1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 0\cr}\right)$ y conjugado con $\left(\matrix{12 & -2 & 6\cr 15 & -7 & 3\cr 3 & 1 & -3\cr}\right)$ conseguir $M_0 = \left(\matrix {2/3 & -1/9 & 1/3\cr -1/2 & 5/6 & 1/2\cr 1/2 & 1/6 & 1/2\cr}\right)$. El conjugado de a $M_0$ $\left(\matrix{1 & b & 0\cr 0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 1\cr}\right)$ $(1,1)$ elemento $2/3 + b/2$,$2$$b = 8/3$. El uso de esta, nos dan $M_1 = \left(\matriz{2 & 3 & -1\cr -1/2 & -1/2 & 1/2 \cr 1/2 y 3/2 & 1/2\cr}\right)$. The conjugate of $M_1$ by $\left(\matriz{1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & b\cr 0 & 0 & 1\cr}\right)$ has $(2,2)$ element $-1/2 - 3b/2$, which is $1$ for $b = -1$. Con esto, obtenemos $M_2 = \left( \matrix{2 & 3 & -4\cr 0 & 1 & 0\cr 1/2 & 3/2 & -1\cr} \right)$, que satisface los requisitos.

Answer 2

Si $X$ es idempotente, $X^2=X$, y así por el Cayley-Hamilton teorema, la única autovalores son $0$$1$. Por lo tanto, si usted está buscando en diagonal o triangular superior matrices, hay severas restricciones en lo que es posible.

Además, si uno pone una matriz idempotente en forma normal de Jordan, Jordan bloques deben ser todos de tamaño $1$, y por lo $X$ debe ser diagonalizable. Esto permite una clasificación de idempotente matrices hasta conjugación. Por lo tanto, puede generar idempotents a partir de una matriz diagonal con $0$'s y $1$'s y la conjugación.

No tengo conocimiento de ninguna buena manera de construir una matriz con las entradas de la diagonal y valores propios, si es que no, ya sea superior o inferior triangular. Sin embargo, definitivamente hay restricciones que pueden ser colocadas en las entradas de la diagonal. Por ejemplo, debido a que la traza es la conjugación de todos los idiomas, debemos tener la si $X$ $n\times n$ de la matriz, a continuación,$0\leq \operatorname{tr} X\leq n$, e $\operatorname{tr} X \in \mathbb{N}$. El seguimiento debe también ser igual al rango de $X$.

Para una matriz invertible a ser idempotente, debe ser conjugado a la matriz identidad, y por lo tanto debe ser la matriz identidad. En el $2\times 2$ de los casos, si $X$ es idempotente, pero no la matriz de identidad o la matriz cero, entonces tiene autovalores $0$$1$, cada una con multiplicidad $1$. Sin embargo, esta condición garantiza que la matriz puede ser diagonalized, y por lo tanto es idempotente. Por lo tanto, la matriz debe ser de la forma $$\pmatrix{a & b \\ \frac{a(1-a)}{b} & 1-a}$$.

Por desgracia, en más de $2$ dimensiones, al menos uno de los autovalor de multiplicidades será mayor que $1$, y para el idempotentness no puede ser verificada por la ecuación característica solo, aunque a seguir, desde el teorema espectral si la matriz es real y simétrica.

Answer 3

Para $n \times n$ matrices donde $n$ es pequeño (probablemente no mucho más grande que $4$), dada la diagonal de elementos cuya suma es un número entero de$1$$n-1$, me gustaría tratar de resolver el sistema de ecuaciones para los elementos de la matriz de $M^2 - M$ el uso de base de Groebner técnicas.