¿Por qué es el campo eléctrico de un infinito placa constante en todos los puntos?

Question

Yo sé de la ley de Gauss, es $\vec{E}=\dfrac{\sigma}{2 \epsilon_0}(\hat{n})$ en todos los puntos. Pero no tiene sentido porque de la inversa del cuadrado de la naturaleza del campo eléctrico que sugiere que si usted se mueve más lejos del plano, el campo eléctrico debe reducir.

Entonces, ¿por qué es el campo eléctrico de un infinito placa constante en todos los puntos?

Answer 1

Creo que la mejor manera de responder a esta pregunta es en realidad no las matemáticas y la física. A partir de primeros principios y no un acceso directo.

De Couloub la ley y de la definición del campo eléctrico: $$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$

Consideremos, en primer lugar un infinito de alambre de cambio (vamos a construir la hoja más adelante). Por ahora, se le asigna una densidad de carga de todo el hilo: $\lambda$. Donde $\lambda = \frac{dq}{d\ell}$.

El diferencial de la forma del campo eléctrico ecuación puede ser a su vez dado (usando la notación de la imagen):

$$d\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dq}{r^2} \hat{\mathbf{r}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{r^2} d\ell \;\hat{\mathbf{r}}$$

Ahora, a partir de la imagen, debe ser un poco claro que el campo eléctrico de los componentes del cable en el "arriba hacia abajo" ($\hat{\mathbf{y}}$) en dirección a cancelar los unos a los otros sin importar el valor de $R$ e $\ell$. Por lo tanto, veamos solo considerar el campo eléctrico en la $\hat{\mathbf{x}}$ dirección.

A partir de la geometría, nos damos cuenta de las siguientes:

$$ r = \sqrt{\ell^2 + R^2} = \frac{R}{\cos \theta} $$ $$ d\ell = R d\theta $$ $$ \hat{\mathbf{x}} = \cos \theta \; \hat{\mathbf{r}}$$

Por lo tanto:

$$d\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda \cos^2 \theta}{R^2} \frac{R}{\cos \theta} d\theta \;\hat{\mathbf{x}}$$ $$ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{R} \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta} \;\hat{\mathbf{x}} $$

Ahora, queremos encontrar el campo eléctrico total de toda la longitud del alambre. Por lo tanto, queremos integrar a través de todo el cable. Esto significa que, intergrating sobre el ángulo de $\theta$: $-\frac{\pi}{2} \rightarrow \theta \rightarrow \frac{\pi}{2}$. Por lo tanto:

$$ \vec{E_x} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{R} \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta} \;\hat{\mathbf{x}} $$ $$ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{R} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \;\hat{\mathbf{x}} $$ $$ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2\lambda}{R} \;\hat{\mathbf{x}}$$

Tenga en cuenta que, para un alambre infinito, el campo eléctrico no depende de la distancia del cable.

Sin embargo, queremos que la hoja. Se puede construir una hoja de chrage mediante la alineación de los muchos cables en una fila paralela a la otra. Supongamos que, aún con la imagen de la pila de ellos a lo largo de la $\hat{\mathbf{z}}$ eje. Debe quedar claro que, como la $\hat{\mathbf{y}}$ de la componente de campo eléctrico se anula a si misma cuando el cable que corre a lo largo de ese eje, la hoja también anula las contribuciones de $\hat{\mathbf{z}}$.

Nos reasignar la distancia que el punto en cuestión es de la hoja como $D$, $R$ es ahora entre el punto y uno de los cables (a una distancia $z$ desde el punto en la hoja por encima del punto en cuestión) en toda la hoja. Esto significa que $R$ está relacionado con el ahora, dada por:

$$ R = \sqrt{D^2 + z^2} = \frac{D}{\cos \phi} $$

Donde $\phi$ es el ángulo entre las líneas $R$ e $D$, de forma similar a $\theta$ es el ángulo de la imagen (sólo extrapolar a 3D). Por otra parte, la carga de superficie de la hoja está dada por:

$$ \lambda = \sigma dz = \sigma D d\phi $$

$$ \hat{\mathbf{r'}} = \cos \phi \; \hat{\mathbf{x}} $$

Tenga en cuenta que la segunda ecuación no puede hacer un montón de sentido al principio; sin embargo es similar a la nuestra transformación anterior ($ \hat{\mathbf{x}} = \cos \theta \; \hat{\mathbf{r}}$) execpt que la dirección es un nuevo desplazamiento de $\hat{\mathbf{r'}}$.

Si tenemos la respuesta para el campo eléctrico a través de una línea de carga y la coloca en un diferencial de la forma:

$$ d\vec{E_{r'}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2\lambda}{R} \;\hat{\mathbf{r'}} $$

Subsituting:

$$ d\vec{E_x} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2 \sigma D }{D} \frac{\cos \phi}{\cos \phi} d\phi \;\hat{\mathbf{x}} $$ $$ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( 2 \sigma \right) d\phi \;\hat{\mathbf{x}} $$

Por último, de nuevo, como con el alambre, podemos integrar sobre toda la hoja: $-\frac{\pi}{2} \rightarrow \phi \rightarrow \frac{\pi}{2}$

$$ \vec{E_x} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( 2 \sigma \right) d\phi \;\hat{\mathbf{x}} $$ $$ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( 2 \sigma \right) \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\phi \;\hat{\mathbf{x}} $$ $$ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( 2 \sigma \right) \left( \pi \right) = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} $$

Como se puede ver, debido a la geometría de la infinita hoja, la dependencia de la distancia de la hoja se cayó de la ecuación (sin aproximaciones, para la mayor parte). Haciendo el cálculo a partir de primeros principios, se ha obtenido una ecuación para el campo eléctrico a través de un infitie placa que uno normalmente encontrar un libro de texto.

Si su pregunta por la razón real (y no la que conocemos), toda esta derivación es una consecuencia de la ley de Coulomb. Para preguntar por qué la ley de Coulomb es como es, está fuera del alcance de esta respuesta (y la física?).

Answer 2

El campo se vuelve más débil cuanto más obtiene a partir de un punto de carga debido a que las líneas de campo se puede extender.

Las líneas de campo de un plano infinito nunca puede difundir a cabo; simplemente se ejecutan en paralelo el uno al otro para siempre. De modo que el campo de fuerza es constante.

Answer 3

Aquí está una manera rápida de pensar en ella.

Imagine que usted es la distancia R de la placa, y usted sabe que la fuerza de un círculo en el plato que tiene radio R. El área del círculo es pi R^2.

Ahora mueva dos veces como mucho. La fuerza de cada punto de carga se reduce de 1/R^2 1/4R^2 por la ley del cuadrado inverso. El área de un círculo que tiene un radio 2R es de 4 pi R^2.

La geometría, lo que significa que la fuerza total que permanece el mismo. Cada cambio debido a la ley del cuadrado inverso es compensada por el mismo cambio, debido a la mayor área de la estructura homóloga.

Answer 4

Considere la posibilidad de una placa con carga negativa y un electrón en una pequeña distancia de ella.

La placa repele el cargo. Los electrones en la placa que está más cerca de los electrones libres de empuje en dirección perpendicular y también empujar más, porque están más cerca que cualquier otro de los electrones en la placa.

Los otros cargos están a una distancia mayor y presionar menos, y también en su mayor parte hacia los lados. Debido a la simetría, sólo los componentes perpendiculares a la placa permanecen. Para cada carga en un lado de la electrónica, hay otro cargo en el lado opuesto.

Si mueve el electrón lejos de la placa, la cantidad de cargos que presionar menos de lado aumenta (más de la placa de carga es "bajo" el electrón) por la cantidad justa para compensar la mayor distancia.