Campos ciclotómicos de campos finitos

Question

Es un hecho que si $K=\mathbb Q$ entonces el grupo de Galois del $n$ campo ciclotómico sobre $\mathbb Q$ es isomorfo a $\mathbb Z_n^{*}$ .

En el caso fueron $K$ es un campo arbitrario, tenemos que el grupo de Galois del $n$ campo ciclotómico es isomorfo a un subgrupo de $\mathbb Z_n^{*}$ .

En particular, si tenemos $K=\mathbb F_7$ y $f(x)=x^5-1$ tenemos que $Gal(L/K)\cong U\subset\mathbb Z_5^{*}$ donde $L$ es el campo de división de $f$ en $\mathbb F_7$ .

Pero, ¿qué utilidades tengo para determinar el grupo de Galois? Normalmente sé completamente cómo es el grupo de Galois, si $K=\mathbb Q$ ...

En nuestro caso ahora las posibilidades son $\mathbb Z_4$ , $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ , $\mathbb Z_2,\{e\}$ .

Answer 1

Si sólo quieres saber cuál es el grupo de Galois, en caso de que la base sea un campo finito, la respuesta es fácil, cuando recuerdas que los grupos siempre son cíclicos. En el caso $\Bbb F_7$ y $X^5-1$ basta con preguntar cuál es la primera potencia de $7$ es tal que $5|(7^n-1)$ que es el orden del grupo multiplicativo de $\Bbb F_{7^n}$ . La respuesta es $7^4=2401$ por lo que el grupo de Galois es cíclico de orden $4$ .

Answer 2

En efecto, el grupo de Galois es isomorfo a $(\mathbb{Z}/5)^{\times}$ .

En general, el campo de división de $x^n-1$ en $\mathbb{F}_q$ es $\mathbb{F}_{q^l}$ donde $l$ más pequeño para que $n_0$ divide $q^l -1$ . Efectivamente, $x^n-1 = (x^{n_0}-1)^{p^t}$ (sobre $\mathbb{F}_p$ ) , por lo que sólo tendrá $n_0$ raíces distintas de $1$ . Además, un $\mathbb{F}_Q$ consiste en $0$ y $(Q-1)^{\text{th}}$ raíces de $1$ y desea la extensión mínima que contenga sus raíces de $1$ .

El grupo de Galois de $\mathbb{F}_{q^l}$ en $\mathbb{F}_q$ es cíclico de orden $l$ generado por el mapa $x\mapsto x^q$ es decir, todos los mapas de la forma $x \mapsto x^{q^i}$ para $0 \le i \le l-1$ . Si $l$ es el especificado anteriormente - entonces se ve esto como un subgrupo de $(\mathbb{Z}_{n_0})^{\times}$ .

Por ejemplo, $q=p=7$ , $n=5$ , $\ \ \ 7 = 2 \!\!\!\mod 5$ y $2$ es un generador de $(\mathbb{Z}_5)^{\times}$ así que tienes el grupo completo. Usted nota que $x^5-1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x+1)$ no influye más allá de $\mathbb{F}_{7}$ .

Comparar con $q=p=11$ , $n$ todavía $5$ , $\ \ 11=1 \!\!\!\mod 5$ por lo que la extensión $\mathbb{F}_{11}(\zeta_{5}) /\mathbb{F}_{11}$ es trivial. En efecto, $x^5-1 = (x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-9)$ se divide completamente $\mathbb{F}_{11}$ .