Ejercicio 2.11 Atiyah-Macdonald

Question

Esto es parte del ejercicio, estoy atascado con ella.

$A$ es un anillo conmutativo con unidad.

1) Supongamos que tenemos un homomorphism $\phi : A^{m} \to A^{n}$ surjective. Es cierto que $m \geq n $ ?

2) Supongamos que tenemos un homomorphism $\phi : A^{m} \to A^{n}$ inyectiva. Es cierto que $m \leq n $ ?

Answer 1

Sugerencias: La respuesta a ambas preguntas es sí. Para (1) tensor por el residuo de campo de un ideal maximal.

Para (2) asumir, por medio de la contradicción, que $m > n$. Considere la posibilidad de $A^n \subseteq A^m$ y considerar la posibilidad de $\phi\colon A^m \to A^m$ como un mapa en $A^m$. Deje $\pi\colon A^m \to A^m$ ser un mapa de proyección tal que $\pi\phi = 0$. Ahora uso la Proposición 2.4 $\phi$ mostrar satisface alguna relación. A continuación, utilice $\pi$ y la inyectividad de $\phi$ reducir la relación a $\phi = 0$.