Es la matriz de diagonalización único?

Question

A partir de la siguiente declaración, parece diagonalización de la matriz es sólo eigen de descomposición.

Diagonalizing una matriz es también equivalente a encontrar la matriz de autovalores, que resultan ser precisamente las entradas de la diagonalized de la matriz. Del mismo modo, los vectores propios conforman el nuevo conjunto de ejes correspondientes a la diagonal de la matriz.

http://mathworld.wolfram.com/MatrixDiagonalization.html

Sin embargo, de lo que he aprendido, Teorema Espectral es la más cercana a esta conclusión. Pero, ¿cómo el teorema espectral que se relaciona con él, o es que hay algún otro teorema de subvenciones de esta declaración?

Teorema espectral: Supongamos que $V$ es un complejo interior-espacio del producto y $T \in L(V)$. A continuación, $V$ tiene un ortonormales base que consta de los vectores propios de a $T$ si y sólo si $T$ es normal.

Answer 1

La matriz de diagonalización es más general que el teorema espectral. Por ejemplo, usted no puede estar en un interior espacio del producto, y todavía puede ser útil para diagonalize una matriz. No toda matriz puede ser diagonalized, a pesar de que, por ejemplo,

$$\left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end {matrix}\right]$$

tiene los autovalores 1 y 1, pero no se puede diagonalized.

El teorema espectral indica que, en una determinada situación, que están garantizados para ser capaz de diagonalize. Aún mejor, los vectores propios tienen algo más de estructura: son ortogonales uno al otro.

Si una matriz es diagonalized, su diagonal formulario es único, hasta una permutación de las entradas de la diagonal. Esto es debido a que las entradas en la diagonal debe ser la de todos los autovalores. Por ejemplo,

$$\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {matrix}\right] \text { and }\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end {matrix}\right]$$

son ejemplos de dos maneras diferentes para diagonalize la misma matriz.

Answer 2

Mientras que la diagonal de la matriz $D$ se determina hasta permutación, el cambio de base de a $U$ es determinado únicamente hasta múltiplos escalares de las columnas. Así que de hecho puede tener diagonalizations $$A = U_1 D_1 U_1^{-1} = U_2 D_2 U_2^{-1}$$ donde $D_1 \neq D_2$, $U_1 \neq U_2$. Así diagonalización no es único en la general, pero el único hasta la permutación de la diagonal entradas en $D$, y múltiplos de las columnas de a $U$.

Answer 3

Eric respuesta es irregular en si por "diagonalización" te refieres a encontrar invertible $Q$, de modo que $QAQ^{-1}$ es diagonal. Sin embargo también podemos encontrar unitario $U^\star, V$, de modo que $U^\star A V$ es diagonal, la descomposición de valor singular.

Otra posibilidad es que si encuentras $L, D, U$ donde $L$ es triangular inferior, $D$ es diagonal, $U$ es triangular superior, y $A=LDU$. El LDU de descomposición es útil para la resolución de sistemas lineales. Si $A$ a no es invertible, esto no funciona, pero si es la diagonal $D$ es único.