Intermedio dígitos de 34!

Question

Problema: Dado que el $34!=295232799cd96041408476186096435ab000000$. Encontrar $a, b, c, d$. $a, b, c, d$ son de un solo dígito.

Soy capaz de encontrar$a$$b$, pero no puede encontrar a $c, d$. Hice el primer factorización de $34!$ De Polignac la fórmula. Llegué $\frac{34!}{10^7}=2^{25}\times3^{15}\times7^4\times11^3\times13^2\times17^2\times19\times23\times29\times31$

Así que, me puse a $b=0$ $a=2$ desde $2^{25}\times3^{15}\times7^4\times11^3\times13^2\times17^2\times19\times23\times29\times31 \equiv 2 \mod 10$.

Así que, por favor me ayuden a encontrar a $c$ $d$

Answer 1

SUGERENCIA: El número es un múltiplo de a $9$ y un múltiplo de $11$.

Answer 2

Usted sabe que $34!$ es divisible por $9$, por lo que, debido a la suma de todos los otros dígitos es $141$, usted sabe que $c+d=3$ o $c+d=12$.

Ahora haga lo mismo para la divisibilidad por $11$ (recuerde que la alternancia de las sumas criterio?).

Answer 3

Aquí $34!$ contienen $2^{32}$$5^7$. Por lo $2^{25}$ restante y $2^{7}\cdot 5^7 = (10)^7$ formulario $7$ ceros al final.

Por lo $34! = 295232799cd9604140809643ab \times 10^7$ ahora, después de la eliminación de $7$ cero,s ,

Así, obtenemos $34! = 295232799cd9604140809643ab$

Ahora vamos a utilizar la divisibilidad de la prueba para la última $7$ dígitos con $2^7$.

Aquí $(a,b)\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Así Divisiblilty por $2^2$, obtenemos

$00,04,08,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,84,88,92,96$ ect

Así Divisibilidad por $2^3$

$304,312,320,328,336,344,352,368,376,384$

En una manera similar

en el pasado, cuando divisible por $2^{7},$ obtenemos $ab = 52$

Ahora, puesto que estos son los dígitos, $0 \leq c, d \leq 9$, lo $-9 \leq c-d \leq 9$$0 \leq c+d \leq 18$.

Utilice el hecho de que $34!$ es un múltiplo de a $9,$ a decirle a usted el valor de $c+d$. Tenemos que $c+d = 3$ o $12$.

Utilice el hecho de que $34!$ es una multiplicar de $11,$ a decirle a usted el valor de $c-d$.

Tenemos que $c-d = -3$ o $8$. Desde $2c$ es un número de $0$ $18,$

llegamos a la conclusión de que $c=0, d=3$.

Por lo $(a,b,c,d) = (5,2,0,3)$