De infinitas dimensiones C*-álgebra contiene infinitas dimensiones commutitive subalgebra

Question

Estaba leyendo un papel en el que se menciona sin la prueba de que todas las dimensiones infinitas $C$* álgebra tiene un infinito-dimensional conmutativa $C$* subalgebra.

Pensando en ello durante 10 minutos, no veo forma de prueba. Es suficiente para crear un elemento con infinito espectro, pero no veo la manera de construir un elemento.

Por otra parte, si uno toma una infinidad de noncommuting infinito y co-infinito proyecciones sobre un espacio de Hilbert, y se lleva a la $C$* álgebra generada por las proyecciones, no veo una razón por la que este contiene un infinito-dimensional conmutativa $C$* subalgebra. (Esto no es claramente una probada contraejemplo.)

Hay una sencilla prueba de este hecho?

Answer 1

Marta, esto es cierto por una observación debido a Kaplansky, creo, que afirma que un infinito-dimensional C*-álgebra contiene una auto-adjunto elemento con el infinito espectro. Ver Ex. 4.6.12 en

R. V. Kadison y J. R. Ringrose, Fundamentos de la Teoría de Álgebras de operadores, Vol. I, Teoría Elemental, Puras y Aplicadas Matemáticas., Vol. 100 Academic Press, Nueva York (1983).

Ahora, aplique el teorema espectral para un elemento $x$. El uso continuo funcional de cálculo, se consigue $C^*(x)=C_0(\sigma(x))$, que es infinito-dimensional como $\sigma(x)$ es un infinito conjunto compacto.