¿Cómo se generaliza el teorema de la bicomposición?

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita.

Teorema de la bicomutación : Dejemos que $\mathcal{S}$ sea $*$ -subconjunto de $B(H)$ entonces $\mathcal{S}''$ es el cierre fuerte $\overline{\langle \mathcal{S} \rangle}$ del álgebra $\langle \mathcal{S} \rangle$ generado por $\mathcal{S}$ (llamada el álgebra de von Neumann generada por $\mathcal{S}$ ).

• Ahora bien, si $\mathcal{S}$ es un subconjunto no autoadjunto de $B(H)$ ¿Qué podemos decir sobre $\mathcal{S}''$ ?

• ¿Es cierto que $\overline{\langle \mathcal{S} \rangle} \subset \mathcal{S}''$ ?

• Cuáles son los subconjuntos más simples conocidos $\mathcal{S}$ con $\overline{\langle \mathcal{S} \rangle} \subsetneq \mathcal{S}''$ ? ¿Subconjuntos de operadores individuales?

¿Cómo se generaliza el teorema de la biconmutación?

Answer 1

Primera nota, por ejemplo, de la red de manipulaciones, que para cualquier conjunto a $\mathcal{S}\subseteq B(H)$, el bicommutant $\mathcal{S}^{''}$ es un wot/sot-cerrado unital subalgebra de $B(H)$. Así que queremos considerar el wot/sot-cierres de la álgebra $\langle \mathcal{S}\rangle$ de todos los polinomios en los elementos de $\mathcal{S}$. Desde $\langle \mathcal{S}\rangle\subseteq \mathcal{S}^{''}$, y desde el wot y sot cierres de un conjunto convexo coincidir, siempre tenemos $$ \overline{\langle \mathcal{S}\rangle}^{sot}=\overline{\langle \mathcal{S}\rangle}^{wot}\subseteq \mathcal{S}^{"}. $$ El bicommutant de la propiedad es, cuando la igualdad se mantiene. Yo sólo considerar el caso de un único operador $S\in B(H)$, es decir,$\mathcal{S}=\{S\}$. A continuación, $\langle\mathcal{S}\rangle =\mathbb{C}[S]$ es el álgebra de todos los polinomios en la $S$.

• En dimensión finita, siempre tenemos $\mathbb{C}[S]=\{S\}^{''}$.

• En el infinito-dimensional caso, hay muy pocos ejemplos de no-normal operadores de $S$ para que el doble commutant propiedad $\overline{\mathbb{C}[S]}^{wot}= \{S\}^{''}$ mantiene. Sólo mencionaré los unilateral de cambio de operador (Marrón-Halmos, "las propiedades Algebraicas de los operadores de Toeplitz", Crelle 1964). Ver también el artículo "las Contracciones con la bicommutant de la propiedad", Proc.AMS 1985, por Takahashi. Y véase también, de hecho, el reciente artículo de Marcoux y Mastnak para, posiblemente, no solos generan álgebras con el bicommutant de la propiedad.

• A partir de ahora, nos vamos a restringir a los casos en que $S$ es normal, en dimensión infinita. Tenga en cuenta que por Fuglede del teorema, la commutant de $\{S\}$ coincide con la commutant de la auto-adjunto set $\{S,S^*\}$. Por lo tanto, por von Neumann bicommutant teorema, $$\{S\}^{''}=\{S,S^*\}^{''}=\overline{\mathbb{C}[S,S^*]}^{wot}$$ es un álgebra de von Neumann. Por lo $\overline{\mathbb{C}[S]}^{wot}= \{S\}^{''}$ si y sólo si $\overline{\mathbb{C}[S]}^{wot}$ $*$- álgebra. El siguiente punto clave es debido a Sarason, "subespacios Invariantes y los no destacados álgebras de operadores", Pacífico JM 1966 (corolario p.511): $\overline{\mathbb{C}[S]}^{wot}$ $*$- álgebra si y sólo si $S$ es reductiva, es decir, cada cerrados subespacio invariante $F$ $S$ es una reducción de la subespacio (es decir, $F^\perp$ es invariante bajo $S$ o, de manera equivalente, $F$ es invariante bajo $S^*$). En dimensión finita, $S$ es reductivo si y sólo si $S$ es normal. Recordemos que el wot/sot no metrizable en el infinito dimmension (a pesar de que son metrizable en la norma acotada establece al $H$ es separable): en 1952, Proc. AMS papel "En la subespacios invariantes de la normal de operadores", Wermer construido un ejemplo de reductora normal operador $S\in B(H)$ tal que $S^*$ no pertenece al wot secuencial cierre de $\mathbb{C}[S]$, si bien se encuentra en el wot cierre, y en agudo contraste con lo finito-dimensional caso de que $S^*$ es un polinomio en a $S$ por cada operador habitual $S$.

• Por supuesto, cada limitada (skew-)uno mismo-adjoint operador operador es reductivo. Así que estos dan otros ejemplos donde la bicommutant posee propiedad. Ahora, por fin, llegar a lo que podría ser el más sencillo contraejemplo: el cambio bilaterales $$ S:\ell^2(\mathbb{Z})\longrightarrow\ell^2(\mathbb{Z})\qquad S:e_n\longmapsto e_{n+1} $$ es unitaria, de dónde normal, y no reductiva como $\ell^2(\mathbb{N})$ $S$- invariante, pero no $S^*$-invariante. Por lo tanto $$\overline{\mathbb{C}[S]}^{wot}\subsetneq\{S\}^{''}.$$

Answer 2

Aquí hay un preprint (Marcoux, Mastnak 2012) : Teorema del doble conmutador no autoadjunto .

He pedido a los autores que publiquen una respuesta aquí. Mientras espero, aquí está el resumen de su artículo:

Resumen. El teorema del doble conmutador de von Neumann afirma que si $\mathcal{N}$ es una subálgebra unital y autoadjunta del conjunto $B(H)$ de todos los operadores lineales acotados que actúan en un espacio de Hilbert $H$ y si $\mathcal{N}':=\{T \in B(H) :TN=NT \text{ for all} N \in \mathcal{N} \}$ denota la conmutante de $\mathcal{N}$ entonces $\mathcal{N}'' = \overline{\mathcal{N}}$ . En este trabajo, comenzamos el análisis de subalgebros no necesariamente subálgebras autoadjuntas $\mathcal{S}$ de $B(H)$ cuya segunda conmutante $\mathcal{S}''$ está de acuerdo con $\mathcal{S}$ . Más concretamente, examinamos el caso en el que $\mathcal{S}= \mathcal{D}+ \mathcal{R}$ , donde $\mathcal{R}$ es un bimódulo sobre una masa $\mathcal{M}$ en $B(H)$ et $\mathcal{D}$ es una subálgebra unital de $\mathcal{M}$ .

Si los autores no responden a mi llamada, me tomaré el tiempo de hojear su artículo para publicar aquí una respuesta más adecuada.