¿Por qué $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \simeq 0.7071$ en lugar de $0.5$ ?

Question

Estoy tratando de entender la trigonometría. Trabajando en grados obtenemos:

$$\cos(0°) = 1$$

$$\cos(90°) = 0$$

A medio camino entre $0$ y $90$ grados obtenemos $45$ grados, por lo que me parece lógico que $\cos(45°)$ daría $0.5$ pero en su lugar obtenemos $\frac{\sqrt{2}}{2} \simeq 0.7071$ ¿Por qué?

Answer 1

La función $f(x) = \cos(x)$ , $f : \mathbb R \to \mathbb R$ es no una función lineal, por lo que esa suposición que has hecho no se cumplirá. Tenga en cuenta que el valor $0.7071$ no está lejos de $0.5$ debido a la línea curva que $\cos$ sigue el sistema de coordenadas cartesianas, que no se desvía mucho de la línea $y=x$ . Este no significa que otras funciones no lineales tendrán valores de "punto medio" cercanos a $0.5$ (que depende totalmente de su aproximación polinómica).

Consulte un sencillo gráfico a continuación:

Comprobando también la representación en serie del coseno $\cos$ se puede ver que es evidente que :

$$\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$

tiene no lineal condiciones.

Answer 2

Ese tipo de intrapolación lineal requiere que se trate de una función lineal, pero no es así. Es decir, tu razonamiento funcionaría si la función se pareciera a un balancín triangular:

Pero la función coseno no es así... ¡véase el post de Rebellos! (¡hacemos un buen equipo!)

Answer 3

Para triángulos rectángulos, donde uno de los ángulos es $x\neq90^{\circ}$ Estoy seguro de que lo sabes. $\cos x$ es la longitud del lado adyacente dividida por la longitud de la hipotenusa.

Un triángulo rectángulo con ángulo $45^{\circ}$ tiene lados opuestos y adyacentes iguales en longitud, así que por el Teorema de Pitágoras, la hipotenusa es $\sqrt{2}$ veces la longitud del lado adyacente. De ello se deduce que $\cos 45^{\circ}=1/\sqrt{2}$ .

Answer 4

$$ X \in [0°,90°] $$ son sólo las entradas de la función $$ f(\color{red}{x}) = \cos(\color{red}{x}), \ x \in X $$ .

Y $ 45° $ es el punto medio de la entrada, ¿por qué es necesario que la salida sea también el punto medio?

Considere $$ f(x) = \frac{1}{x} $$ Empezar a introducir $ x= {{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}}$

Aquí también, $$ f(\color{green}{1}) = \color{green}{1} $$ Ahora, el punto medio de entrada es $5$ . Pero $$ f(\color{green}{5}) = \frac{1}{\color{green}{5}}!=5 $$

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Así que concluimos que puede ocurrir que $\sin(\color{green}{0°}) = \color{green}{0} $ pero no existe una relación/patrón directo entre esta función seno o coseno con su salida (rango).

Answer 5

La función $f(x)=x^2$ satisface $f(0)=1, f(1)=1$ y a mitad de camino está $1/\sqrt{2}$ y tal vez por eso $\cos$ es también $1/\sqrt{2}$ a medio camino.