velocidad del sonido y la energía potencial de un gas ideal; Goldstein derivación

Question

Estoy buscando la derivación de la velocidad del sonido en Goldstein de la Mecánica Clásica (sec. 11-3, pp 356-358, 1ª ed). Con el fin de escribir el Lagrangiano, él necesita la cinética y energía potencial.

Él obtiene la energía cinética muy fácilmente como la suma de las energías cinéticas de las partículas individuales (la suma de ir a una integral en el límite). Deje $\eta_i, i=1,2,3$ ser los componentes del vector de desplazamiento (cada una de las $\eta_i = \eta_i(x,y,z)$ ser una función de la posición). Así que la energía cinética de la densidad es ${\cal T}=(\mu_0/2) (\dot{\eta}_1^2+\dot{\eta}_2^2+\dot{\eta}_3^2)$ donde $\mu_0$ es el equilibrio de la densidad de la masa.

Para la energía potencial, se utiliza una termodinámico argumento, basándose en el trabajo realizado en un diagrama PV, y usando la ecuación de $PV^\gamma = C$. Su resultado final, después de varios pasos, es

${\cal V} = -P_0 \nabla\cdot\vec{\eta}+\frac{\gamma P_0}{2}(\nabla\cdot\vec{\eta})^2$

Aquí, $P_0$ es el equilibrio de la presión, y $\gamma$ es la relación de calores específicos.

Posteriormente se demuestra que el término $P_0 \nabla\cdot\vec{\eta}$ no tiene ningún efecto en las ecuaciones de movimiento, y que se le cae. Así que su fórmula final para el Lagrangiano de densidad es:

${\cal L} = (1/2)(\mu_0\dot{\vec{\eta}}^2 - \gamma P_0(\nabla\cdot\vec{\eta})^2$

y el Lagrangiano del curso es la integral de esta en todo el espacio.

Ahora, en el caso de un gas ideal (o mejor aún, un gas perfecto), a mi entender, es que la energía interna es totalmente cinética. Ingenuamente, el modelo estadístico es un montón de que no interactúan punto de partículas de carreras alrededor, rebotando en las paredes del recipiente. (Por simplicidad, ignorar la gravedad.)

Esto parece contradictorio. No deberíamos obtener los mismos resultados de una microscópica y macroscópica punto de vista?

Para decirlo de otra manera, esto sugiere que en un gas hecho de que no interactúan entre partículas puntuales, sin fuerzas externas, excepto para el duro muro de fuerzas, las ondas de sonido no podrían propagar (ya que la densidad Lagrangiana reduciría a la cinética parte). Que no le parece correcto.

Answer 1

Él obtiene la energía cinética muy fácilmente como la suma de las energías cinéticas de las partículas individuales (la suma de ir a una integral en el límite). Deje $\eta_i, i=1,2,3$ ser los componentes del vector de desplazamiento (cada \eta_i = $\eta_i(x,y,z)$ ser una función de la posición). Así que la energía cinética de la densidad es${\cal T}=(\mu_0/2) (\dot{\eta}_1^2+\dot{\eta}_2^2+\dot{\eta}_3^2)$, ¿dónde está el equilibrio de la densidad de la masa.

Ingenuamente, el modelo estadístico es un montón de que no interactúan punto de partículas de carreras alrededor, rebotando en las paredes del recipiente. (Por simplicidad, ignorar la gravedad.)

Solo para aclarar, parece que lo entiendes, las "partículas" en estos dos casos son diferentes. En el segundo que son sólo las moléculas, en la primera son macroscópicos, piezas de gas, pequeños volúmenes.

En cuanto a tu pregunta, llegar desde microscópicas de energía para el macroscópico. Te voy a mostrar cómo están relacionados.

$E_\text{mic} = \sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m \boldsymbol c_i^2$

En el enfoque que vamos a tener que lidiar con $N$ de moléculas, que es como encontrar las trayectorias individuales de todas las moléculas, lo que no queremos. Debe ser también el término para reflejar la interacción de las moléculas (colisiones), ya sea entre sí o con las paredes, pero eso no importa ahora. Para reducir el número de grados de libertad se introduce una partícula función de distribución:

$$f(\boldsymbol r, \boldsymbol c, t)$$

El quantaty $f(\boldsymbol r, \boldsymbol c, t) \; d\boldsymbol r d\boldsymbol c$ nos dice cuántas moléculas hay en el espacio de fases elemento $d\boldsymbol r d\boldsymbol c$

$$E_\text{mac}(\boldsymbol r, t) = \int \frac{1}{2} m \boldsymbol c^2 f(\boldsymbol r, \boldsymbol c, t) \; d\boldsymbol c$$

Como usted recuerda, queremos expresar macroscópico de energía en términos de energía cinética macroscópica, es decir, tenemos que introducir la velocidad macroscópica $\boldsymbol v$:

$$\rho(\boldsymbol r, t) = \int m f(\boldsymbol r, \boldsymbol c, t) \; d\boldsymbol c$$

$$\rho \boldsymbol v(\boldsymbol r, t) = \int m \boldsymbol c f(\boldsymbol r, \boldsymbol c, t) \; d\boldsymbol c$$

Entonces

$$ \begin{multline} E_\text{mac}(\boldsymbol r, t) = \underbrace{\int \frac{1}{2} m (\boldsymbol c - \boldsymbol v + \boldsymbol v)^2 f(\boldsymbol r, \boldsymbol c, t) \; d\boldsymbol c}_{\text{Averaging microscopic kinetic energy}} = \\ \underbrace{\frac{1}{2} \rho \boldsymbol v^2}_{\text{Macroscopic kinetic energy}} + \underbrace{\int \frac{1}{2} m (\boldsymbol c - \boldsymbol v)^2 f(\boldsymbol r, \boldsymbol c, t) \; d\boldsymbol c}_{\text{Macroscopic potential energy}} \end{multline} $$

La parte con $\boldsymbol v - \boldsymbol c$ fue omitido por buenas razones, pero entrar en detalles sería demasiado, ya he esencialmente diciendo la teoría cinética. Para más detalles, puedes consultar los libros adecuados.

Así, hemos extraído los macroscópico de energía cinética, lo que queda es macroscópico de energía potencial de presión, si quieres.

Para decirlo de otra manera, esto sugiere que en un gas hecho de que no interactúan entre partículas puntuales, sin fuerzas externas, excepto para el duro muro de fuerzas, las ondas de sonido no podrían propagar (ya que la densidad Lagrangiana reduciría a la cinética parte). Que no le parece correcto.

Gas Ideal modelo no asume partículas de no chocar, se dice que la energía potencial de la interacción molecular puede ser descuidado. Abrupto duro muro potencial con funciones delta de tener cero de la energía global. Usted puede ver de gas de partículas que interactúan sólo para el equilibrio de los casos. E incluso entonces usted tiene que considerar las colisiones con las paredes. Para el no-equilibrio caso de que usted tiene que tomar en cuenta las colisiones. Si no se interactúa, en efecto, no habría ningún sonido.