Tensorality de la Mentira de Derivada e $i([X,Y]) = [L(X),i(Y)]$

Question

Estoy tratando de comprender la siguiente ecuación (2.15) en la p.9 de Blau de la Geometría Simpléctica y de Cuantización Geométrica.

Para los dos campos vectoriales $X,Y$ en un simpléctica colector $M$ nos dice una declaración de la tensorality de la Mentira derivada es

$$i([X,Y]) = L(X)i(Y) - i(Y)L(X)$$

donde $i(X)$ denota la inclusión en el primer argumento del tensor de ser cumplidas y $L(X)$ denota la Mentira derivada del tensor de ser actuado a lo largo del campo de vectores $X$.

Aquí está mi comprensión actual: de la linealidad de los tensores tenemos

$$i([X,Y])= i(XY-YX) = i(XY) - i(YX).$$

Yo esperaría que el siguiente paso de alguna manera, por ejemplo, escribe $i(XY)$ como $L(X)i(Y)$ pero yo no puedo ver la justificación para ello, y de todos modos no el resultado, a continuación, ser

$$i([X,Y]) = L(X)i(Y) - L(Y)i(X)~?$$

Answer 1

Así, la composición de la $XY$ de los campos vectoriales $X$ e $Y$ puede ser un operador de referencia en $C^\infty(M)$, sin embargo, no es un campo de vectores! De hecho, los campos vectoriales son de primer orden lineal en derivadas parciales operadores, como, por ejemplo, las derivadas parciales $\partial_x$ e $\partial_y$ a $C^\infty(\mathbf R^2)$. Su composición $\partial_x\partial_y$ no es de primer orden. Su ecuación $$ i(XY-YX)=e(XY)-i(YX) $$ simplemente no tiene sentido, ya que ni el $i(XY)$ ni $i(YX)$ sentido.

La manera correcta para derivar la ecuación quieres entender es considerar una contracción $i(Y)T$ de un tensor $T$ como multplication $Y\cdot T$, y la verificación de que la Mentira derivado de una contracción satisface la regla de Leibniz: $$ L_X(Y\cdot T)=L_X(Y)\cdot T+Y\cdot L_X(T), $$ que se traduce como $$ L_Xi(Y)=i([X,Y])+i(Y)L_X $$ desde $L_XY=[X,Y]$. Voilà su fórmula!