¿Es $\mathbb{P}(X < a) = \mathbb{P}(f(X) < f(a))$?

Question

Si $f(x)$ es una función monótona creciente, ¿entonces $\mathbb{P}(X < a) = \mathbb{P}(f(X) < f(a))$? Mi intuición dice que es cierto pero no puedo probarlo ni encontrar el nombre del teorema.

Answer 1

Considera el conjunto de $x$, llámalo $S$, donde $x. Buscas la probabilidad, $P(S)$. Cualquier expresión que conduzca a $S$ produce la misma probabilidad exacta, $b$, independientemente de su declaración. Si $f(x)$ es una función monótona (estrictamente) creciente, $x implica directamente $f(x) y viceversa, es decir, si $f(x), entonces $x.

Answer 2

Si $f$ es estrictamente creciente entonces tienes:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \{ X < a \} &= \{ \omega \in \Omega | X(\omega) < a \} \\[6pt] &= \{ \omega \in \Omega | f(X(\omega)) < f(a) \} \\[6pt] &= \{ \omega \in \Omega | f(X)(\omega) < f(a) \} \\[6pt] &= \{ f(X) < f(a) \}, \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

lo que significa que $\mathbb{P}(X. Si $f$ es solo no decreciente, entonces no puedes derivar este resultado pero puedes derivar un resultado análogo con desigualdad no estricta.

Answer 3

N.
Suponiendo que llamas monótonamente creciente a una función que es no decreciente (para todo $x$ y $y$ tal que $x\leq y$, se tiene $f(x) \leq f(y)$), considera $X$ siguiendo una distribución uniforme en $[0, 1]$, $f=0$ y $a=1$.
Entonces, $P(X.
Tu suposición es válida para funciones estrictamente crecientes. Si f es estrictamente creciente, $ \{X.