Determina el límite, o muestra que no existe: $\lim_{x\to 2} \left(\arctan\left(\frac{1}{2-x}\right)\right)^2$

Question

Determine el límite de lo siguiente o demuestra que no existe: $$\lim_{x\to 2} \left(\arctan\left(\frac{1}{2-x}\right)\right)^2$$

Si solo sustituyo el valor de $x$, obtengo una expresión no definida. Sin embargo, desafortunadamente, no veo cómo expandir este límite para ver que no existe o obtener un valor. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Realizando la sustitución $u=\frac{1}{2-x}$, esto es simplemente $\lim\limits_{u\to\infty}(\tan^{-1} u)^2$, que se evalúa en $\frac{\pi^2}{4}$, ya que $\lim\limits_{u\to\infty}\tan^{-1} u=\frac{\pi}{2}$. (Tenga en cuenta que realmente hay una pequeña tecnicidad, a saber, que tomamos solo el límite derecho de la integral original. Afortunadamente, el hecho de que el arco tangente esté elevado al cuadrado hace que el límite izquierdo sea consistente.)

Answer 2

De manera intuitiva, conforme $x$ se acerca desde el lado positivo a 2, $\frac{1}{2-x}$ tiende a $-\infty$ y conforme $x$ se acerca a 2 desde el lado negativo, $\frac{1}{2-x}$ tiende a $\infty$. Sin embargo, el $arctan$ de $\pm\infty$ es $\pm\frac{\pi}{2}$, por lo que al elevar al cuadrado esto resulta en $\frac{\pi^2}{4}$, que es el valor del límite.

Por mera formalidad, hagámoslo rigurosamente.
Mostramos que los límites izquierdo y derecho existen y que son iguales, dando por sentado que $\lim_{x\to\infty}arctan(x)=\frac{\pi}{2}$ y que $\lim_{x\to -\infty}=-\frac{\pi}{2}$ y que $arctan(x)$ es monótono.

Consideremos $\lim_{x\to2^{-}}arctan^2(x)$. Seleccionamos $Y$ tal que $y>Y\rightarrow \frac{\pi}{2}-arctan(y)<\epsilon$, entonces $\frac{\pi^2}{4}-arctan(y)<\epsilon(\pi-\epsilon)$. Para tener $y>Y$, necesitamos $\frac{1}{2-x}>Y\rightarrow x>2-\frac{1}{Y}$ y, dado que este es el límite izquierdo, $x<2$. Tomamos $\delta=2-\frac{1}{Y}$ para que $x\in(2-\delta,2)\rightarrow arctan^2(\frac{1}{2-x})\in\Bigl(\frac{\pi^2}{4}-\epsilon(\pi-\epsilon),\frac{\pi^2}{4}\Bigr)$, por lo tanto $\lim_{x\to2^-}arctan^2(x)=\frac{\pi^2}{4}$

Ejercicio: calcular $\lim_{x\to2^+}arctan^2(x)$ y demostrar que son iguales.