Estoy en busca de un elemental de la prueba (que no hace uso de la teoría de Galois). Para el caso de $p = 3$, $tr(A^3) = tr(A)^3 - 3e_1e_2 + 3e_3$ donde la $e_i$ son los coeficientes de la characterstic polinomio de $A$, y por lo tanto son números enteros, por lo que el resultado de la siguiente manera. No puedo ver una manera de generalizar este arbitrarias $p$. Cualquier ayuda sería genial!
Respuesta
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Si $A,B$ son los desplazamientos de las matrices cuadradas de más de $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ del mismo tamaño, entonces $$(A+B)^p=A^p+B^p$$ (el binomio fórmula es válida aquí, y $p\mid\binom{p}{k}$ para $0<k<p$). (Lo mismo vale para los $A,B$ sobre $\mathbb{F}_p[\lambda]$, por la misma razón.) De ello se desprende, por una matriz de $A$ sobre $\mathbb{F}_p$, denotando por $\chi_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ su polinomio característico, que $(\lambda I-A)^p=\lambda^p I-A^p$ y, por tanto, $\chi_{A^p}(\lambda^p)=\big(\chi_A(\lambda)\big)^p$. Pero $\big(f(x)\big)^p=f(x^p)$ para cualquier polinomio $f\in\mathbb{F}_p[x]$ (esto normalmente se demuestra por inducción sobre el grado de $f$ utilizando el mismo "binomio argumento de" como es arriba, y el hecho de que $a^p=a$ cualquier $a\in\mathbb{F}_p$).
Lo que en realidad tenemos $\chi_{A^p}(\lambda^p)=\chi_A(\lambda^p)$, es decir, sólo $\color{blue}{\chi_{A^p}\equiv\chi_A}$. Como corolario (la comparación de los coeficientes), obtenemos $\operatorname{tr}(A^p)=\operatorname{tr}(A)$, y está hecho (de nuevo por $a^p=a$ cualquier $a\in\mathbb{F}_p$).
